Les outils de la mécanique classique

Voir: Cours de cinématique

Éléments de cinématique

Les référentiels

Il existe différents types de référentiels, exemple

-Héliocentrique: son centre est le centre du soleil, les 3 axes pointent vers 3 étoiles fixes (donc très lointaines)

-Géocentrique: son centre est le centre de la terre, les 3 axes pointent vers 3 étoiles fixes

-Terrestre: son centre est n'importe quel objet fixe par rapport au sol

➨On suppose que ces trois référentiels sont galiléen(= on peut y appliquer les lois de Newton)

REMARQUE: Tous les référentiels en mouvement rectiligne uniforme par rapport à un référentiel galiléen sont galiléens

Notion de repère spatiale

$i↖ {→},j↖ {→},k↖ {→}$: les vecteurs unitaire de x,y,z

||i|| = ||j|| = ||k|| = 1

Vecteur position

G: la courbe d'inertie du système étudié

➥ Son vecteur de position est OG

On se place dans un repère x,y,z avec les vecteurs unitaire $i↖ {→},j↖ {→},k↖ {→}$

On prend toujours une quatrième donnée, le temps: t

➥Pour étudier un mouvement, le temps est obligatoire

Le vecteur de position OG est donc égale à:

${OG}↖ {→} = x(t)\; ✕\;i↖ {→}+y(t)✕j↖ {→}\;+\;z(t)✕k↖ {→}$

Les coordonnées de OG sont donc:

/x :x(t)

/y: y(t)

/z: z(t)

REMARQUE: selon le plan, x,y ou z peuvent être toujours nul

On a: ||OG|| = √(x²+y²+z²)

Vecteur vitesse (v)

La vitesse est la dérivée du déplacement par rapport au temps

➥C'est donc une différence de position par rapport à une différence de temps

On a donc:

$v↖ {→} = {dOG}/{dt} = {dx}/{dt} ✕ i↖ {→}+ {dy}/{dt} ✕ j↖ {→} + {dz}/{dt} ✕ k↖ {→}$

Les composantes du vecteur v de la vitesse sont:

/x : vx = ${dx}/{dt}$

/y : vy = ${dy}/{dt}$

/z : vz = ${dz}/{dt}$

On peut calculer la vitesse instantanée quand t ou Δt tend vers 0

La vitesse est exprimée en m.s^-1

Vecteur accélération (a)

Comme la vitesse, l'accélération est une dérivée

En fait, l'accélération est la dérivée de la vitesse par rapport au temps

➥C'est une différence de vitesse par rapport à une différence de temps

On a donc:

$a↖ {→} = {dv}/{dt} = a_x \; ✕ i↖ {→}+a_y \; ✕ j↖ {→}+a_z \;✕ k↖ {→}$

Les composées du vecteur (a) de l'accélération sont:

/x: a_x = ${dvx}/{dt}$

/y: a_y = ${dvy}/{dt}$

/z: a_z = ${dvz}/{dt}$

On peut calculer l'accélération instantanée quand t ou Δt tend vers 0

L'accélération est exprimée en m.s^-2

Les lois de Newton

La 3ème loi de Newton ou loi des vecteurs réciproques

Soit 2 système A et B

Si A exerce une force sur B (notée F_A/B) alors B exerce une force sur A (F_B/A)

On a: F_A/B = -F_B/A

La 1ere loi de Newton ou principe d'inertie

"Dans un référentiel galiléen, tout corps persévère dans son état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme si les forces qui s'exercent sur lui se compensent

➥∑Fext = o (théorème de la résultante)

On a donc l'accélération qui est nul

La vitesse est constante, sa valeur, son sens et sa direction ne changent pas

La 2ème loi de Newton ou relation fondamentale de la dynamique

Cette loi décrit la quantité de matière en mouvement

On utilise cette lois pour les systèmes en mouvements, c'est la loi la plus utilisé/importante cette année

p = m ✕ v

p en Kg.m.s^-1, m en kg et v en m.s^-1

REMARQUE: le vecteur p as le même sens et même direction que le vecteur v

On a donc: ∑Fext = ${dp}/{dt}$ = dérivée de la quantité de matière en mouvement (p) par rapport au temps

On l'utilise dans 2 cas:

-Le système a une masse variable (ex: propulsion d'une fusée)

On a donc: ∑Fext = ${dy}/{dt}$

Cette forme est la plus complexe

- Le système a une masse m constante:

On a donc: p = $m ✕ v = {dp}/{dt} = {dm}/{dt} ✕ v +m ✕ {dv}/{dt}$

comme la masse est constante, ${dm}/{dt}$ = 0

On a donc: p = ${dv}/{dt}$ ✕ m = m ✕ a

La formule est donc: ∑Fext = m ✕ a

➥ Somme des vecteurs force = masse ✕ accélération

Cette formule est plus simple et on l'utilise plus souvent

REMARQUE: le vecteur a de l'accélération a le même sens et la même direction que ∑Fext

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