Cinématique du solide

I Définition

Etude l'évolution des positions, vitesse et accélération des différents points d'un solide en mouvement

II Solide en translation par rapport à un repère fixe

A) Caractéristiques d'un mouvement

-Translation: le solide se déplace en restant toujours parallèle à lui même

Tout les points du solide ont la même trajectoire, vitesse et accélération

➨ Avec la vitesse/accélération/trajectoire d'un point on a la vitesse/accélération/trajectoire du solide

B) Relation entre position, vitesse,accélération des points d'un solide en translation

Exemple d'un ascenseur

phase 1: translation uniformément accélérée (accélération constante)

phase 2: translation uniforme (vitesse constante, accélération nul)

phase 3: translation uniformément décélérée (accélération négative-> décélération)

C) représentation graphique des 3 phases d'un mouvement

Légende: t= temps, P= phase

Accélération

Vitesse

Déplacement

D) Etude des équations a,v,x

On étudie le cas d'un ascenseur qui monte

a: accélération

v: vitesse

x: déplacement

équations dans la phase 1

accélération: constante

a₁(t) = ${v_{t2}- v_{t1}}/{t2-t1}$

➨accélération = dérivée de la vitesse

vitesse

v₁ = ${x_{t2}- x_{t1}}/{t2-t1}$

➨vitesse = dérivée du déplacement

Vitesse: v₁ (t) = a₁ ✕ t

Déplacement

x₁(t) = a₁ ✕ ${t²}/2$

Équations dans la phase 2

Accélération: a₂(t) = 0

Vitesse: v₂(t): constante

Déplacement: x₂(t) = v₂ ✕ t + x₀

- x₀: ordonné du point où la droite x₂(t₂) = v₂ ✕ t + X₀ coupe l'axe des ordonnés

- Pour calculer X₀ il faut connaître "t",v₂ et x₂ , on se place donc au début ou en fin de phase

Ici, on se place en t₂ (début de phase)

-On obtient x₂(t₂) = v₂ ✕ t₂ + X₀ = x₁(t₂)

Il suffit d'isoler x₀ dans l'équation pour le trouver

Équations dans la phase 3

Accélération: a₃(t) = constante et négative (0>a₃ )

Vitesse: v₃(t) = a₃ ✕ t + V₀

- Pour calculer V₀, il faut connaître "t", a₃ et v₃ on se place donc au début ou en fin de phase

Ici, on se place en t₃ (début de phase)

-On a: v₃(t₃) = a₃ ✕ t₃ +V₀ = v_e(t₃)

Il reste à isoler V₀ pour le calculer

Déplacement: x₃(t) = a₃ ✕ ${t²}/2$ +V₀ ✕ t + X₀

- Pour calculer x₀, il faut connaître "t", x₃ et V₀ on se place donc au début ou en fin de phase

Ici, on se place en t₃ (début de phase)

-On a: x₃(t₃) = a₃ ✕ ${{t_3}²}/2$+ V₀ ✕ t₃ + X₀

Il reste donc à isoler X₀ pour le calculer (On a déjà V₀)

- t₄ (fin du dernier cycle), est le moment où la vitesse revient à 0

- On le calcul donc avec v₃(t₄) = a₃ ✕ t₄+V₀ ✕ t₃ = 0

Cas générale

-On utilise toujours ces formules, dans certains cas (cf plus haut) des constantes/valeurs sautent, on utilisera donc une forme moins développée

Accélération: constante

Vitesse: V= a ✕ t + V₀

Déplacement: x = $(a \; ✕ \; t²)/2$ + v₀ ✕ t+x₀

III Solide en rotation

On remplace simplement avec l'accélération, la vitesse et le déplacement angulaire

➥Car le solide est en rotation

Accélération angulaire: α = constante

Vitesse angulaire: ω= α ✕ t + ω₀

Déplacement angulaire (angle parcourus): θ = $(α \; ✕ \; t²)/2$ + ω₀ ✕ t+θ₀

Pour en savoir plus: La mécanique des forces

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