Chapitre 3 Vecteurs: géométrie analytique, équation cartésienne de droite

Un vecteur est défini par une direction, un sens et une norme, il est la représentation des forces en Physique/SI

Rappels

Soit 2 vecteurs quelconques $u↖ {→}$ et $v↖ {→}$

a)Somme

-Somme v+u = w On mets les vecteurs $u↖ {→}$ et $v↖ {→}$ bout à bout et on trace le vecteur $w↖ {→}$ qui part de l'origine de $v↖ {→}$ et qui s'arrête à la pointe de $u↖ {→}$

b) Soustraction

-Soustraction $v↖ {→} {-u}↖ {→} = w↖ {→}$ On utilise le vecteur inverse de $u↖ {→}: {-u}↖ {→}$, on a donc $v↖ {→}+(-u)↖ {→}$, ensuite, mets les vecteurs $v↖ {→}$ et $ {-u}↖ {→}$ bout à bout et on trace le vecteur $w↖ {→}$ qui part de l'origine de $v↖ {→}$ et qui s'arrête à la pointe de ${-u}↖ {→}$

c) Relation de chasles

Pour tout points ABC, ${AC}↖ {→}= {AB}↖ {→} + {BC}↖ {→}$

C'est la relation de Chasles, on peut la décliner avec une infinité de vecteur (ce qui compte, c'est le point d'arrivée et le point de départ qui doivent être les extrémités du vecteur créé par la somme (${AB}↖ {→}$ ici)

I- Vecteurs colinéaires, décomposition dans une base

1) Vecteurs colinéaires

-2 vecteurs $u↖ {→}$ et $v↖ {→}$ sont colinéaires si a $u↖ {→} = k ✕ v↖ {→}$ où k est un réel, appelé coefficient de colinéarité

REMARQUE: le vecteur nul est colinéaire à tout vecteurs (car 0 multiplié par n'importes quels nombres est égal à 0)

2)Décomposition d'un vecteur dans une base

-Soit un repère (O;$ i↖ {→};j↖ {→}$) dans un plan

-Pour tout vecteurs dans le plan va s'écrire a ✕ $i↖ {→} + b ✕ j↖ {→}$

-On dit que le vecteur est décomposé. $(\table a;b)$ sont les coordonnées du vecteur

II- Coordonnées dans un repère du plan

-Un repère est définit par une origine (un point) et une base (2 vecteurs)

En générale, on a (0;$i↖ {→}; j↖ {→}$)

1) Coordonnées d'un vecteur

-A(xa;ya) B(xb;yb) dans un repère (O;$ i↖ {→}; j↖ {→}$) le vecteur ${AB}↖ {→}$ a pour coordonnée (xb-xa;yb-ya)

2) Coordonnées de $u↖ {→} + v↖ {→}$

-Il suffit d'ajouter les coordonnés en X et en Y: $u↖ {→}+v↖ {→}$ = X_u+X_v en x et Y_u+Y_v en Y

3)Coordonnées de k ✕ $u↖ {→}$

il suffit de multiplier les coordonnés en X et en Y par "k"

4)Propriété

- 2 vecteurs $u↖ {→}: (\table X;Y)$ et $v↖ {→}: (\table X';Y')$ sont colinéaires, si et seulement si:

XY'-X'Y = 0 (ou si $u↖ {→} = k ✕ v↖ {→}$) et on calcul k avec k =${X'}/X$

III) Équations cartésienne d'une droite

1) Vecteur directeur d'une droite

-Le vecteur directeur d'une droite est un vecteur non nul qui a la même direction que la droite

2) Équation cartésienne de D

-On définie un repère $(O,i↖ {→},j↖ {→})$

a) Propriété et caractéristiques

$u↖ {→}$ un vecteur non nul, A un point et la droite D(1;$u↖ {→}$) passant par A et de vecteur directeur $u↖ {→}$

Propriété: La droite D est l'ensemble des points M tels que ${AM}↖ {→}$ et $u↖ {→}$ soient colinéaire (1 point commun donc les vecteurs sont alignés)

b) Équation cartésienne d'une droite

-Toutes droite a un vecteur directeur et une équation cartésienne de la forme:

ax + by + c = 0

- Le vecteur directeur est: $u↖ {→}: (\table -b;a)$

-On utilise donc le vecteur directeur pour avoir l'équation cartésienne ou l'équation pour avoir le vecteur de la droite

REMARQUE: tout point de la droite va vérifier l'équation si on remplace x et y par les coordonnés du point

-Si on a une équation de type y= ax+b, l'équation cartésienne est: ax-y+b=0 avec un vecteur directeur: $u↖ {→}: (\table 1;a)$

La suite: Le produit scalaire

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