Le produit scalaire

Vous avez besoin ici du cours sur les vecteurs

I Définition du produit scalaire

- $U↖ {→}$ et $V↖ {→}$, deux vecteurs s non nul dans un plan

-Le produit scalaire est le nombre réel résultat du produit de deux vecteurs, noté U.V

-$U↖ {→}.V↖ {→} = ‖U↖ {→}‖ ✕ ‖V↖ {→}‖ ✕ \; cos(U↖ {→},V↖ {→})$

-Soit OA et OB, deux vecteurs s non nul

-OH le projeté orthogonal de OA sur OB

Projeter un vecteur sur un autre, c'est mettre sa pointe et son origine sur le vecteur, perpendiculairement

Si OA et OB ont le même sens:

- OA.OB = OB.OH = |OA| ✕ |OB| (cos = 1 car angle = 0°)

Si OA et OB sont de sens contraire

OA.OB = OA.OH = -|OA| ✕ |OB| (cos = 1 et sens contraire = ✕ -1)

REMARQUE: on peut projeter indifféremment B sur OA ou A sur OB

➥On en projette 1 à la fois pour calculer, on ne peut pas les projeter sur un 3ème vecteur

-Formules de calcul:

$U↖ {→}.V↖ {→} = |U↖ {→}| ✕ |V↖ {→}| ✕ \; cos(U↖ {→},V↖ {→})$

$U↖ {→}.V↖ {→} = 1/2 ✕ ({‖U↖ {→}+V↖ {→}‖} ^2-{‖U↖ {→}^2‖}-{‖V↖ {→}^2‖})$

Dans on repère orthonormé (O,$I↖ {→},J↖ {→}$) avec $U↖ {→}:(\table X;Y) et V↖ {→}:(\table X';Y')$

$U↖ {→}.V↖ {→}$ = X ✕ X'+Y ✕ Y'

II Propriété du produit scalaire

1)Symétrie du produit scalaire

$U↖ {→}.V↖ {→} = V↖ {→}.U↖ {→}$

➥Le sens n'importe pas, comme dans une multiplication

2) Distributivité

$U↖ {→}.(V↖ {→}+ W↖ {→}) = U↖ {→}.V↖ {→} +U↖ {→}.W↖ {→}$

➥Simple distribution (produit scalaire = multiplication)

3)Bilinéarité du produit scalaire

$U↖ {→}.(k ✕ V↖ {→}) = k ✕ (U↖ {→}.V↖ {→})$

-Avec k: un réel

4) Carré scalaire

$U↖ {→}.U↖ {→} = {U↖ {→}}²$

${U↖ {→}}^2 = {‖U‖}^2$

$U↖ {→}.U↖ {→} = ‖U‖ ✕ ‖U‖$

5) Développement et factorisation

$(U↖ {→}+V↖ {→}).(U↖ {→}-V↖ {→}) = {U↖ {→}}^2-{V↖ {→}}^2$

$(U↖ {→}+V↖ {→})^2 = {U↖ {→}}^2+2 ✕ U↖ {→}.V↖ {→} +{V↖ {→}}^2$

$(U↖ {→}-V↖ {→})^2 = {U↖ {→}}^2-2 ✕ U↖ {→}.V↖ {→} +{V↖ {→}}^2$

même règles qu'avec les nombres réels car le produit scalaire est un réel

6) Orthogonalités

$U↖ {→}.V↖ {→}$ = 0

➥$U↖ {→}$ = 0

ou → $V↖ {→}$ = 0

ou → cos($U↖ {→},V↖ {→}$) = 0

➨ U est perpendiculaire à V

III Application

1) Formule d'Al kashi et formule des sinus

-Dans n'importe quel triangle

➥Les noms sont utilisés dans les formules ci dessous pour vous aider à identifier les angles/cotés utilisés

a) Al kashi

-C'est la formule de Pythagore généralisée à tout les triangles

Dans un triangle ABC

a² = c²+b² -2cb ✕ cos(Â)

➥Il suffit d'interchanger les cotés pour calculer les cotés ou angles manquant

➨Pythagore + 2 ✕ cotés connus ✕ cosinus(angle opposés)

REMARQUE: pour utiliser cette formule, il faut 2 cotés et un angle, c'est pourquoi on l'utilise rarement

b) Formule des sinus

-Cette formule est plus utile et plus utilisée

-Il suffit de 2 cotés et un angle ou 2 angles et un cotés pour l'utiliser, il suffit d'utiliser la règle de trois ensuite

FORMULE:

${\text "cotés a"}/{\text "sinus (A)"} = {\text "cotés b"}/{\text "sinus (B)"} = {\text "cotés c"}/{\text "sinus (C)"}$

➥Le rapport ${\text "longueur"}/{\text "sinus(coté opposé)"}$ est le même dans tout le triangle

2) Équation d'une droite orthogonal à un vecteur donné

a) Propriété

-Soit un repère orthonormé $(O,I↖ {→},J↖ {→})$

-Soit un vecteur donné n

-M un point d'une droite D

Caractéristiques d'une droite D passant par A et perpendiculaire au vecteur n

-La droite D est l'ensemble des points qui vérifient l'équation: vecteur(AM).vecteur(n) = 0

➥On dit que n est le vecteur normal à D

b)Vecteur normal à une droite

-Soit une droite D d'équation ax+by+c = 0

➥Le vecteur n de coordonné (a;b) est normal à d

Démonstration:

$u↖ {→}: (\table -b;a)$: vecteur directeur de la droite D

➥ On a donc: u.n = -b ✕ a+b ✕ a = 0

3) Équation d'une droite

a) Propositions caractéristiques

A: centre du cercle

R: Rayon du cercle

M: un point du cercle

-On note le cercle C(A;R) avec A ✕ M² = R²

b)Équation du cercle

Équation: (x_a-x)² +(y_a-y)² = R²

➥Théorème de Pythagore, avec x_a et y_a, les coordonnés du centre

➥On teste la distance entre le cercle et un point, x et y sont des coordonnés d'un point

REMARQUE: on a tout mis au carré pour ne pas avoir de racines

-Un point est sur le cercle si ses coordonnées x et y vérifient l'équation

-Un cercle peut aussi avoir une équation de la forme: x²+y²+ax+by+c = 0

➥Il suffit de développer la formule plus haut

REMARQUE: la réciproque n'est pas vraie (x²+y²+ax+by+c = 0 n'est pas forcément une équation de cercle)

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