Chapitre 1 Le second degré

I Fonction polynôme du second degré

1) Définition

Fonction définie sur R par f(x)= ax²+bx+c avec "a" le coefficient directeur différent de 0

2) Exemple et contre-exemple

x²+3x+7 est du second degré, $x²+3x+7/x$ n'est pas du second degré

3) Forme canonique

a(x-α)²+β avec

α = $ {-b}/{2a}$et β = f(α) = $ {Δ}/{4a}$

4) Variation de la fonction

Sommet de la parabole : (x=α ; y= β)

-Si a > 0 alors la fonction est décroissante de -∞ au sommet (α;β) puis croissante

-Si a < 0 alors la fonction est croissante de -∞ au sommet (α;β) puis décroissante

On utilise aussi la dérivée pour connaitre les variations de la courbe

5) Représentation de la fonction

Parabole avec les bras tournés vers le haut si a est supérieur à 0

Parabole avec les bras tournés vers le bas si a est inférieur à 0

L'équation de l'axe de symétrie de la fonction polynôme est x = α c'est à dire, quand x = $ {-b}/{2a}$

II Équation du second degré

1) Définition

L'équation se ramène toujours à ax²+bx+c=0

2) Théorème

Pour résoudre une équation du second degré , il faut calculer Δ

Δ = b²-4ac

Si Δ > 0, les solutions sont: x1= $ {-b - √{Δ}}/{2a}$ et x2= $ {-b + √{Δ}}/{2a}$

Si Δ = 0, la solution est x0= $ {-b}/{2a}$

Si Δ < 0, il n'y a pas de solution

3) Somme et produit des racines

Somme de x1+x2 = $ {-b}/{2a}$

Produit de x1 ✕ x2= $ {c}/{a}$

4)Factorisation d'un trinôme

Si Δ > 0: a(x-x1)(x-x2)

Si Δ = 0: a(x-x0)²

Si Δ < 0: pas factorisable car on a la forme A²+B (in factorisable)

III inéquation du second degré

1) signe d'une expression du second degré

Si Δ > 0: la fonction est du signe de a en dehors des racines et du signe de -a entre les racines

Si Δ = 0: la fonction est du signe de a sauf pour x0 (car pour x0, f(x) est nul)

Si Δ < 0: la fonction est du signe de a

2) Résoudre une inéquation

Il faut poser l'équation pour trouver les valeurs qui annulent l'équation (f(x)=0), puis, faire le tableau des signes

Exemple: 2x²+2x+2 ≤ 3, on pose 2x²+2x-1 pour trouver les valeurs qui annulent

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