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Chapitre 4 Dérivation
La dérivation sert à calculer/prévoir les variations et de trouver les extremums sur un intervalle d'une courbe, elle est surtout utilisée en Physique pour calculer la courbe d'un phénomène à partir de la dérivée que l'on atrouvée (expérience, calcule...) car, grâce à la dérivée, on sais comment la courbe se comporte
On a besoins de connaître les fonctions de référence
I nombres dérivés
1) Taux d'accroissement d'une fonction
-Soit f une fonction définie sur un intervalle, 2 points A(a;f(a)) et B(a+h; f(a+h)) de la courbe obtenue en traçant f
-Le taux d'accroissement t(h) de f sur l'intervalle [a;a+h] est le coefficient directeur de la droite AB
-On a donc: $t(h) = {f(a \; + \; h) - f(a)}/h$
On utilise simplement la formule: $t(h) = {x_m - x_a}/{y_m - y_a} $ce qui donne ici : $t(h) = {f(a \; + \; h) - f(a)}/{a \; + \; h - a}$
2) Nombre dérivé de f en a
a) Notion de limite d'une fonction en 0
-Soit f une fonction définie sur un intervalle dont 0 est la borne (➨0: minimum ou maximum de l'intervalle)
-f a une limite "l" en 0 si quand x tend vers 0, f(x) tend vers l
b) Définition
"h" est la distance en x du point A(a;f(a)) et M (a+h; f(a+h)), h est variable
-Soit f une fonction et $t(h) = {f(a \; + \; h) - f(a)}/{h}$ son taux d'accroissement
-Si la limite "l" de t(h) quand h tend vers 0, est un nombre réel finit (A et M tendent à être confondue car h tend vers 0, AM devient la tangente à la courbe en A)
-Alors, f est dérivable en a, on appelle "l" f'(a), il correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe f au point a, en d'autre termes, "l" est le coefficient directeur de la courbe au point a
➨On peut donc tracer la courbe à partir de sa dérivée, en prenant plusieurs points !
!Comme "h" n'est jamais égale à 0, on parle donc de limite quand "h" tend vers 0
Formules de dérivation des fonctions de référence
| D de définition de f | Fonction de référence f(x) | fonction dérivée de f(x): f'(x) | D de définition de f' |
|---|---|---|---|
| R | f(x) = k | f'(x) = 0 | R |
| R | f(x) = ✕ | f'(x) = 1 | R |
| R | f(x) = ax | f'(x) = a | R |
| R | f(x) = ax+b | f'(x) = a | R |
| R+ | f(x) = √x | $f'(x) = {1}/{2√x}$ | ]0;+∞[ |
| R | f(x) = x² | f'(x) = 2x | R |
| R | f(x) = xn | f'(x) = nxn-1 | R |
| ]-∞;0[ et ]0;+∞[ | $f(x) = {1}/{x}$ | $f'(x) = {-1}/{x^2} $ | ]-∞;0[ ou ]0;+∞[ |
| ]-∞;0[ et ]0;+∞[ | $f(x) = {1}/{x^n} = x^{-n | $f'(x) = {-n}/{x^{n \; + \; 1}} = -n x^{-n-1}$ | ]-∞;0[ ou ]0;+∞[ |
| R | f(x) = |x| | f'(x) = 1 ou -1 | R* |
4) Équation de la tangente à une courbe en A
-La tangente à une courbe en un point est une fonction affine d'équation de type ax+b
-L'équation de la tangente à une courbe est: f'(a) ✕ (x-a) + f(a)"
II- Fonction dérivées
1) Définition
-Une fonction est dérivable sur un intervalle I
-Sur cet intervalle, on peut associer à tout x un f'(x)
REMARQUE: On peut avoir des dérivées de dérivées ect...
3) Opération sur les dérivées
-Soit: U et V, 2 fonctions définies et dérivable sur un intervalle I, avec V non nul
| Opération de fonction: | Opération des dérivées |
|---|---|
| U + V | U'+ V' |
| k ✕ U | k ✕ U' |
| U ✕ V | U'V + V'U |
| $U/V$ | $ {U'V -V'U}/{V^{\;2}} $ |
| $ {1}/{V}$ | ${-V'}/{V^{\;2} $ |
4) Domaine de Dérivabilité
Propriété:
-Fonction polynôme(axn+b, avec a≠0 et n entier naturel) est dérivable sur R
-Fonction rationnelle (quotient de polynôme (polynôme/polynôme)) est dérivable sur son ensemble de définition
-Cas générale: soit U et V 2 fonctions, U définie sur I, V définie sur J
$ f = U/V$: dérivable au moins sur I ⋂ J où V≠0
On peut ensuite calculer f' pour plus de précision
f= U ✕ V: dérivable sur I ⋂ J
f= √U : dérivable sur l'intervalle où U est dérivable et U>0
f= |x|: dérivable sur l'intervalle où U est dérivable et U≠0
II Signe de f' en fonction de f
1) Théorème
Soit f une fonction définie et dérivable sur in intervalle I
f est strictement croissante si f'(x) >0 pour tout x de I (et si elle ne s'annule que pour un nombre finit de valeur)
f est strictement décroissante si f'(x) <0 pour tout x de I (et si elle ne s'annule que pour un nombre finit de valeur)
f est constante si f'(x) = 0 pour tout x de I
2) Extremum local
-Sur une courbe, il existe un extremum local en un point A, si en ce point A, la dérivée s'annule et change de signe
On parle d'extremum local (sur un intervalle) et non de toute la courbe
REMARQUE: si la dérivée s'annule sur une distance AB et qu'elle change de signe, on a aussi un extremum local
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