Suites généralités|cours de maths terminale

Ici, pour tout n, entier naturel

I Sens de variation d'une suite

(Un) est une suite numérique (on a donc (Un) appartient à R,) définie à partir du rang "n"

1)Définition du sens de variation d'une suite

Une suite Un est croissante si pour tout n appartenant à N, U_n+1-U_n≥0

Une suite Un est décroissante si pour tout n appartenant à N, U_n+1-U_n≤0

2) Propriété

(Un) est une suite définie par Un=f(n) à f est une fonction dérivable sur R

➥On dits donc que Un est définie en fonction de son rang n

Si f' est positive sur R+, alors Un est croissante

Si f' est négative sur R+, alors Un est décroissante

II Suites arithmétiques et géométrique

1) Rappel

Suite arithmétique de raison r et de premier terme a

U₀ = a

Relation de récurrence:

pour tout entier naturel n, U_n+1 = U_n+r

Formule explicite:

Pour tout entier naturel n, U_n = a+n ✕ r

Relation entre deux termes quelconques:

Pour tout entier naturel n et p, U_n = U_p+(n-p) ✕ r

Somme de n termes consécutif = nombre de termes ✕ moyenne des termes extrêmes

➥Somme des termes de rang 0 à n = $ (n + 1) {U_0 + U_n}/2$

Suite géométrique de raison q et de premier terme a

U₀ = a

Relation de récurrence

pour tout entier naturel n, U_n+1 = q ✕ U_n

Formule explicite

pour tout entier naturel n, U_n = a ✕ qⁿ

Relation entre deux termes quelconques

Pour tout entiers naturel n, U_n = U_p ✕ q^n-p

Si q différent de 1

Somme des n termes consécutifs = premier terme ✕ ${1-q^{\text "nombre de termes"}}/{1-q}$

➥somme des termes de rang 0 à n = $ U_0 ✕ {1-q^{n + 1}}/{1-q}$

2)Propriété

1) Une suite (Un) est arithmétique si et seulement si on a U_n+1-U_n=constante

2) Une suite (Un) dont aucun terme n'est nul

-(Un) est une suite géométrique si et seulement si le rapport $ {U_{n + 1}}/{U_n}$ = constante

III Somme de termes d'une suite

1) Suite arithmétique, somme des entier naturels

Somme des termes U_k de la suite d'entiers naturels

$ Σ↙{k=1}↖n U_k = {n(n + 1)}/2$

➥Somme de tous les termes de la suite Un pour n allant de 0 à k = $(n(n+1))/2$

Démonstration:

S = 1+2+3+...+(n-2)+(n-1)+n

On additionne dans le sens inverse

S = n+(n-1)+(n-2)+...+3=2=1

On ajoute ensuite ces 2 sommes, on obtient

2S = (n+1)+(n+1)+...+(n+1)+(n+1)

REMARQUE: On a n termes

On factorise par n, on obtient alors 2S = (n(n+1))

On divise donc par 2 (on a ajouté 2 fois la somme)

On obtient enfin: S = $(n(n+1))/2$

2) Somme des termes d'une suite géométrique

Pour une suite de raison q, la somme des termes d'une suite géométrique est:

$ Σ↙{k=1}↖n U_k = {1-q^{n + 1}}/{1-q}$

REMARQUE: si on veut sommer les termes de U₃ à U₈ on remplacera dans la formule du haut: le 1 du numérateur par U₃ et n+1 par 9 (8+1)

➥Premier terme - terme après le dernier à être sommé divisé par 1 moins la raison

Démonstration:

(1-q)(1+q) = 1-q²

(1-q)(1+q+q²) = 1+q+q²-q-q³ = 1-q³

On utilise cette propriété pour calculer la somme d'une suite géométrique

S = 1+q+q²+...+qⁿ

➥On multiplie par (1-q)

➨On obtient (1-q)(1+q+q²+...+qⁿ)

Après développement: on a 1-qⁿ⁺¹

On divise par (1-q) pour retomber sur la somme (que l'on avait multiplié par (1-q) juste avant)

On a donc pour tout q appartenant à R privé de 0 et 1, S = $(1-q^{n+1})/(1-q)$

Suite du cours: Le raisonnement par récurrence

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