Le raisonnement par récurrence|cours de maths terminale

On utilise le raisonnement par récurrence avec les Suites

Comment faire un raisonnement par récurrence ?

Le raisonnement par récurrence est un schéma de travail pour démontrer une propriété

➥La façon de résoudre à l'intérieur du raisonnement par récurrence est différente selon le problème, la propriété à démontrer etc...

➨Le raisonnement par récurrence n'est qu'une méthode

Le principe du raisonnement par récurrence

1) Si Pn est vrai pour n₀, un entier naturel

2) Et Si, pour tout n supérieur ou égale à 0, Pn implique que P_n+1 est vrai

➥La propriété Pn est vrai pour tout n supérieur ou égale à n₀

On utilise cette méthode résolution en 3 étapes:

La méthode du raisonnement par récurrence:

1) initialisation

On démontre que la propriété P_n0 est vraie

➥Si effectivement, la propriété que l'on cherche à démontrer est valide pour le premier terme de la suite (n₀), alors on passe à l'étape 2

2) Hérédité

Deux étapes

1) On admet que Pn(= hypothèse de récurrence) est vrai

2) On cherche à démontrer par le calcule en partant de Pn que P_n+1 est vrai (on a admis que la propriété Pn est vrai avant)

3) Conclusion

Si P_n0 est vrai et que P_n+1 est vrai, alors l'hypothèse Pn est vérifiée

➥CQFD

Remarque: En d'autres termes, si l'hypothèse est vérifiée pour le premier terme de la suite ET que l'hypothèse est vérifiée pour les termes suivant (n+1 = le prochain terme)

Cela implique que l'hypothèse est vraie pour tous les termes

➥Vrai pour n0 + vrai pour (n+1) = vrai pour n1, vrai pour n1 + vrai pour (n+1) = vrai pour n2 ect...

➨le raisonnement par récurrence implique que l'on applique virtuellement à tous les termes l'hypothèse pour la vérifier

Propriété, raisonnement par récurrence

P: représente la propriété que l'on cherche à démontrer

-Pn est une propriété dépendant d'un entier naturel n (c'est l'hypothèse de récurrence)

Ex: Pn: Un>0

➥Pn est la propriété que l'on cherche à prouver, appliquée pour n

-Donc P_n0 est le propriété que l'on cherche à démontrer, appliquée au premier terme, P₀, est la propriété que l'on cherche à démontrer appliquée pour n=0

Exemple

Pn: Un>0

on a U₀ = 1 et U_n+1 = U_n+2

Initialisation

P₀: U₀>0

on calcule: U₀ = 1 et 1>0

➥Remarque, il faudra parfois calculer le premier terme où la condition marche (elle sera P_n où n est le rang du premier terme qui valide la propriété)

On admet que Pn est vrai et on cherche à démontrer que, pour tout n appartenant aux entiers naturel, en partant du fait que Pn est vrai, on trouvera que P_n+1 est vrai

P_n+1: U_n+1>0

Démonstration possible:

Un>0

U_n+1 = U_n+2 >Un >0

Donc U_n+1 >0

Donc P_n+1 est vrai

Comme P₀ est vrai et que P_n+1 est vrai, on conclue que Pn est vrai !

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