Théorème de Moivre Laplace Estimation |cours de maths terminale

Théorème de Moivre-Laplace

Introduction

Rappel:

Pour une loi binomiale :

Espérance : E(X) = n ✕ p

Variance: V(X) = n ✕ p ✕ (1-p)

Pour une loi normal

σ = √ (V(X))

ν = E(X)

Le diagramme représentatif d'une loi binomiale a l'allure d'une courbe gaussienne

->On peut faire un lien entre loi binomiale et loi normal

Théorème de Moivre-Laplace

Soit X, une variable aléatoire qui suit une loi binomiale B(n,p)

On a la variable aléatoire Zn une loi normale N(0,1)définiepar:

Z_n = $(X_n- n \; ✕ \; p)/√(n \; ✕ \; p \; ✕ \; (1-p)) = (X_n-ν_B)/σ_n$

Avec ν_B = E(X) et σ_B = σ(X)

On a donc pour tout réels a et b:

lim_n→+∞ p(a ≤Z_n ≤ b) = $1/√(2 ✕ π)$ ✕ _a∫^b e^-t².2dt

Le théorème de Moivre-Laplace montre que l'on peut approcher une loi binomiale par une loi normale lorsque n est grand

➥ Lorsque que: n ≥30, n ✕ p ≥5 et (n ✕ (1-p) ≥0,5

Intervalle de fluctuation asymptotique de X_n

X_n suit la loi binomiale B(n,p)

La fréquence F_n de cette loi binomiale vérifie:

Si Z suit une loi normal:

lim_n→+∞ $P(p-u_α ✕ √(p \; ✕ \;(1-p)/n)) ≤ F_n ≤ p+u_α \;✕ \;√((p ✕ (1-p))/n) = 1-α$

Si Z suit une loi normale centrée réduite:

Remarque: F_n est la fréquence pour n caractères

u_α vérifie: p(-u_α ≤Z ≤ u_α) = 1-α

On parle de fluctuation asymptotiques car la probabilité est d'autant plus proche de 1-alpha; que n est grand

REMARQUE: U_α est l'intervalle de confiance, c'est à dire, le pourcentage des valeurs autour de la moyenne que l'on décide prendre en compte

Exemple, si l'intervalle de confiance est de 95%, on prend 95% des valeurs autour de la moyenne (on a un intervalle allant de -1,96 à + 1,96 sur une courbe gaussienne (cf Loi normal)

➥95% est u_0,05 qui est égal à 1,96

Pour calculer u_α voir le Cours de terminale sur la loi normale

➥Et il reste simplement à appliquer la formule :)

On a donc, l'intervalle de fluctuation qui est : [p-u_α ✕ ($√((p ✕ (1-p))/n)$);p+u_α ✕ ($√((p ✕ (1-p))/n)$)]

Estimation

Introduction aux estimations

On a vue que l'on établit l'intervalle de fluctuation à partir de la loi normale et de la loi binomiale avec le paramètre p parfaitement définie

Cet intervalle permet de mesurer l'écart entre la valeur théorique et la valeur obtenue de l'expérience sur un échantillon

Lors d'une estimation, on essaye de construire l'intervalle pour que p ait une certaine probabilité (que l'on définie à l'avance)

Définition

α ∈ [0;1]

L'intervalle de confiance de 1-α pour l'estimation de p est un intervalle K exprimé en fonction de n et F_n tel que:

P(p∈K) ≥1-α

Propriété

X_n: une variable aléatoire qui suit la loi B(n,p) avec n le nombre de caractère et p le nombre de succès

F_n = ${X_n}/n$ est la fréquence associée à X_n

Lorsque n est grand, p ∈ [F_n- ($1/{√(n)}$);F_n+ ($1/{√(n)}$)] avec une probabilité égale à 0,95

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