La Loi Normale

Rappels et définitions

Parité d'une fonction

Définition

Soit f: une fonction définie sur R

f pair ⇔ ∀ x ∈ R , f(-x) = f(x)

f impair ⇔ ∀ x ∈ R , f(-x) = -f(x)

Une propriété

Soit f: une fonction définie continu sur R

Si f est paire, alors: ∀ a >0:

_-a∫^a f(t) dt = 2₀∫^a f(t) dt

Intégrales généralisées

Soit f, une fonction intégrale sur R

a ∈ R

On définie:

₀∫^+∞ f(t) dt = lim_{x→+∞ a}∫^x f(t) dt

On a donc:

_-∞∫^+∞ f(t) dt = lim_{u→+∞ u}∫^a f(t) dt + lim_{v→ -∞ a}∫^u f(t) dt

Densité de probabilité

Une fonction est une densité de probabilité sur [a;b] ((a,b) ∈ R² et a <b) si:

- f est continue sur [a;b] (sauf pour un nombre fini de valeur)

- ∀ x ∈ [a;b] f(x) ≥0

- _a ∫ ^b f(t) dt = 1

Une fonction est une densité de probabilité sur R si:

- f est continue sur R (sauf pour un nombre fini de valeur)

- ∀ x ∈ R f(x) ≥0

- _-∞ ∫ ^+∞ f(t) dt = 1

Calcul d'une probabilité avec une variable aléatoire a densité

f est une densité de probabilité définie sur R

f est une densité de probabilité d'une variable aléatoire X si:

∀ (a;b) ∈ R², p(a≤X≤b) = _a∫^b f(t) dt

➥ Avec: a<b

REMARQUE: Qu'on enlève ou non les bornes revient à la même chose car la probabilité d'avoir un X unique est nul

On a donc: p(a≤X≤b) = p(X∈[a;b]) = p(a<X≤b) = p(X∈]a;b]) = p(a<X<b) = p(X∈]a;b[)

Fonction de répartition

X est une variable aléatoire de densité f définie sur R

La fonction de répartition de X est la fonction F définie sur R par:

F(x) = p(X≤x) = _-∞∫^x f(t) dt

Espérance d'une variable a densité

X est une variable aléatoire de densité f définie sur R

L'espérance E(X) est:

E(X) = _-∞∫^+∞ f(t) dt

Rappel: Si X est une variable aléatoire discrète: E(X), = $∑↙{i=1}↖n$ x_i p(X = x_i)

Variance d'une variable à densité

La variance d'une variable à densité est:

V(X) = E([X-E(X)]²) = _-∞∫^+∞ [t-E(X)]² f(t) dt

Rappel: Si X est une variable aléatoire discrète:

V(X) = $∑↙{i=1}↖n$ (x_i-E(X))² ✕ p(X = x_i)

Loi normale(ou Loi de Laplace-Gauss)

Définition

Une variable aléatoire X suit une loi normale notée N(μ,σ²) si:

Sa densité de probabilité f est définie sur R par:

$f(x)= {1}/{σ √{2 π}}e^{{-1}/{2}({x-μ}/{σ})^2$

➥La formule n'est pas à connaître

On a alors:

L'espérance E(X) = μ

La variance: V(X) = σ²

Loi normale centrée réduite

Définition

La loi normale centrée réduite est la loi N₀ = N(0;1)

La densité est donc de: f(x) = ${1}/{√{2 π}}e^{{-1}/{2}x^2}$

Espérance et variance

X suit la loi normale N₀

L'espérance E(X) = 0

La variance: V(X) = σ(X) = 1

Conséquence: p(X ∈]-∞;+∞[) = 1

Donc: p(X ∈]-∞ ; 0[ ) = p(X ≤0)= 0,5

Représentation graphique

La loi normale centrée réduite se représente graphiquement par une courbe gaussienne (courbe en forme de cloche)

Calcule pratique avec une calculette

X suit la loi N₀

Calculatrice: 2nd distrib, puis on sélectionne "fonction de répartition"

p(1≤ X≤ 2) = ₁ ∫ ² f(x) dx = normalFrép(1,2) = 0,136

p(X≤ 2) = p(X ≤0) + p(0 ≤X≤2)

p(X≥ 1) = p(X ≥0) - p(0 ≤X≤1)

Relation utile

x₀ > 0

p(-x₀ ≤ X ≤ x₀) = _-x0 ∫ ^x₀ et f est paire

Comme f est paire: p(-x₀ ≤ X ≤ x₀) = 2 ✕ ₀ ∫ ^x₀ = 2 ✕ p(0 ≤ X ≤ x₀)

De plus: p(0 ≤ X ≤ x₀) = p(X ≥0) - p(0 ≤X≤x₀) = p(X ≥0) - 0,5 = F(x₀ -0,5

On a donc:

F(x₀) = p(X ≤ x₀) = $1/2$ + p(0≤X≤x₀)

p(-x₀ ≤ X ≤ x₀ = 2 ✕ F(x₀) - 1 = 2 ✕ p(X≤x₀) -1

Valeur particulière

u_0,05 est un nombre positif tel que: p(-u_0,05 ≤ X ≤ u_0,05) = 1-0,05 = 0,95

Or 2 ✕ p(X ≤ u_0,05)-1 = 0,95 donc p(X≤u_0,05) = ${1,95}/2$ = 0.975

On utilise la fonction réciproque: FractNm (0.975) = 1,96

Donc: u_0.05 = 1.96

u_0.01 est le nombre positif tel que: p(-u_0,01 ≤ X ≤ u_0,01) = 1-0.01 = 0.99

p(-u_0,01 ≤ X ≤ u_0,01) = 2 ✕ p(X≥U_0.01)-1 = ${1,99}/2$ = 0,995

D'après la calculette FractNm(0,995) = 2.58

Donc: = 2,58

Propriété

X est une variable aléatoire qui suit la loi N₀

Pour tout x de R, il existe une valeur unique u_α tel que:

p(-u_α ≤ X ≤ u_α) = 1-α

Généralisation

Calcul pratique

Pour calculer p(a ≤ X ≤ b) avec a,b, des réels lorsque X suit la loi normale N(μ , σ²) on tape sur la calculette:

normalFrep (a,b,μ,σ)

REMARQUE: On ne tape pas μ et σ si X suit la loi normale centrée réduite

Propriété: Passer de loi normal à loi normal centrée réduite

X suit la loi normale N(μ , σ²)

Pour ramener X à une loi centrée réduite, on soustrait μ et on divise par σ à tous les paramètres

➥ p(a ≤ X ≤ b) devient : $p((a -μ/σ) ≤ (X-μ/σ) ≤ (b-μ/σ))$

De même,l'espérance E(X) devient égale à 0

$E(X-μ/σ) = 0$

et la variance V(X) devient égale à 1

$V(X-μ/σ) = 1$

➨On se retrouve dans le cas d'une loi centré réduite

On montre que: $E(X) =μ $

ce qui équivaut à $(E(X) -μ)/σ = 0$ équivaut à $ E(X-μ) = 0$ ce qui équivaut à $ E(X) = 0$

On montre: $V((X-μ)/σ) = 1 $

$1/σ^2 \; ✕ \; V(X-μ) = 1 ⇔ V(X-μ) = σ² ⇔ V(X) = σ²$

Quelques intervalles de fluctuation de N₀

X suit la loi N (μ ; σ²)

On a alors: p (- μ-σ ≤ X ≤ μ - σ) = p(-1 ≤ $(X-μ)/σ$ ≤ 1) = p(-1 ≤ Z ≤ 1)

Avec Z = $(X-μ)/σ$et qui suit une loi normale centrée réduite (N₀)

On a d'après la calculette:

p (- μ-σ ≤ X ≤ μ - σ) = 0,692

p (- 2 ✕ μ-σ ≤ X ≤ 2 ✕ μ - ✕ σ) = 0,955

p (- 3 ✕ μ-σ ≤ X ≤ 3 ✕ μ - σ) = 0,987

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