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Dérivation de fonction
Réviser le cours de dérivation première
Nombre dérivé
Introduction à la notion de dérivation
Soit:
f: une fonction
Cf la courbe représentative de la fonction f
Le point M0 (x0;f(x0)) et M ∈ Cf
Le point M (x;f(x)) et M ∈ Cf
Le Point M se déplace sur la courbe Cf vers le point M0
➥Le coefficient directeur (ou pente) de la droite M0M est:
$t(x) = {f(x) - f(x_0)}/{x-x_0}$
Lorsque x tend vers x0, M et M0 se confondent, on a donc:
La droite T(x) devient la tangente à Cf ou point M0
➥Pour avoir le coefficient directeur de la tangente à un point, on utilise donc la limite de T(x):
Quand xDérivée de fonctions composéesx0, le coefficient directeur de la tangente est de:
${lim}_{x → x_0} {f(x)-f(x_0)}/{x-x_0}$
REMARQUE: il faut que la limite soit finie
définitions dérivable et nombre dérivé
f(x): une fonction définie sur un intervalle I, x0 ∈I
Définition de dérivable
La fonction f est dite dérivable en x0 si, quand x tend vers x0:
${lim}_{x → x_0} {f(x)-f(x_0)}/{x-x_0}$ existe et est définie
Définition de nombre dérivé
Si f est dérivable en x0
$f'(x_0) = {lim}_{x → x_0} {f(a + h) - f(a)}/{h}$
On a aussi la forme:
Pour h tend vers 0, $f'(x_0) = {lim}_{x → x_0} {f(x + h)-f(x)}/{h}$
Le nombre f'(x0) est appelé nombre dérivé de f en x0
Pente et équation d'une tangente
Cf: la courbe représentante de f
M0: le point de Cf d'abscisse x0
Pente de la tangente
Si f est dérivable en x0, alors il existe une tangente en M0
Le coefficient directeur (ou pente) de cette tangente est le nombre dérivé de f en l'abscisse du point sur lequel existe la tangente
Ici: le coefficient directeur de la tangente est le nombre dérivé de f en x0 de M0
Soit: f'(x0)
Équation d'une tangente
L'équation de la tangente à Cf au point d'abscisse x0: y = f'(x0)✕(x-x0)+ f(x0)
Propriétés
f dérivable en x0⇒ f est continue en x0
REMARQUE: La réciproque est fausse
exemple avec la fonction valeur absolue, définie mais pas dérivable en 0
Fonction dérivée
Dérivabilité sur un ensemble
Df': un ensemble de définition
f est dérivable sur Df' si f est dérivable sur tout x ∈Df'
Fonction dérivée
f: une fonction définie sur Df
Df': l'ensemble de tous les réels x0 tels que f'(x0) existe
La fonction dérivée de f notée f' est la fonction qui à tout x ∈Df' fait correspondre f'(x)
Propriété
La somme, la différence, le produit, le rapport (tant que la fonction par laquelle on divise n'est pas nul) de deux fonctions dérivable sur un ensemble I
Sont dérivable sur l'ensemble I
Formules de dérivation
Dérivée et opérations algébriques
-Soit: U et V, 2 fonctions définies et dérivable sur un intervalle I, avec V non nul
| Opération de fonction: | Opération des dérivées |
|---|---|
| U + V | U'+ V' |
| k x U | k x U' |
| U x V | U'V + V'U |
| $U/V $ | ${U'V -V'U}/{V^2}$ |
| $1/V$ | $ {-V'}/{V^2} $ |
Dérivées usuelle
| D de définition de f | Fonction de référence f(x) | fonction dérivée de f(x): f'(x) | D de définition de f' |
|---|---|---|---|
| R | f(x) = k | f'(x) = 0 | R |
| R | f(x) = x | f'(x) = 1 | R |
| R | f(x) = ax | f'(x) = a | R |
| R | f(x) = ax+b | f'(x) = a | R |
| R+ | f(x) = √x | $f'(x) = {1}/{2√{x}}$ | ]0;+∞[ |
| R | f(x) = x² | f'(x) = 2x | R |
| R | f(x) = xn | f'(x) = nxn-1 | R |
| ]-∞;0[ et ]0;+∞[ | $f(x) = 1/x$ | $f'(x) = {-1}/{x^2}$ | ]-∞;0[ ou ]0;+∞[ |
| ]-∞;0[ et ]0;+∞[ | $f(x) = {1}/{x^n} = x^{-n}$ | $f'(x) = {-n}/{x^{n + 1}} = -n x^{-n-1}$ | ]-∞;0[ ou ]0;+∞[ |
| R | f(x) = |x| | f'(x) = 1 ou -1 | R* |
Dérivée de fonctions composées
Formule générale
u: une fonction dérivable sur un intervalle I
v: une fonction dérivable sur un intervalle J
f: une fonction tel que f=v(u(x))
Pour tout x de I, u(x) ∈J
Donc f = v(u(x)) est dérivable sur I et f' = u' ✕ v'(u(x))
Application
n ∈ N \{0;1}, (un)' = nu'un-1
Cette formule est valable partout où u est dérivable
n ∈N*,$({1}/{u^n})' \; = \; {-nu'}/{u^{n + 1}} $
Cette formule est valable partout où u est dérivable et non nul
√(u)' = ${u'}/{2√{u}}$
Cette formule est valable partout où u est dérivable et non nul
Dérivée et sens de variation
Condition nécessaire sur la dérivé
f(x): une fonction dérivable sur un intervalle I
Si: f(x) est décroissante, alors f'(x) ≥0
Si: f(x) est croissante, alors f'(x) ≤0
Conséquences
Si f(x) a un extremum en x0 ∈ I ouvert, alors f'(x)=0
Remarque: la réciproque est fausse
Conditions suffisante sur la dérivé
f: une fonction dérivable sur un intervalle I
∀x∈I, f'(x)>0 ⇔ f strictement croissante sur I
∀x∈I, f'(x)<0 ⇔ f strictement décroissante sur I
∀x∈I, f'(x)≥0 ⇔ f croissante sur I
∀x∈I, f'(x)≤0 ⇔ f décroissante sur I
∀x∈I, f'(x)=0 ⇔ f constante sur I
Remarque: un fonction reste strictement monotone même si sa dérivée s'annule en un nombre fini de points
Condition d'existence d'un extremum local
Théorème:
f: une fonction dérivable sur un intervalle I ouvert
SI: il existe un a∈ I tel que f' = 0
ET SI f' change de signe
Alors: f admet un extremum en a
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