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Dérivation de fonction

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Réviser le cours de dérivation première

Nombre dérivé

Introduction à la notion de dérivation

Soit:

f: une fonction

Cf la courbe représentative de la fonction f

Le point M0 (x0;f(x0)) et M ∈ Cf

Le point M (x;f(x)) et M ∈ Cf

Le Point M se déplace sur la courbe Cf vers le point M0

->Le coefficient directeur (ou pente) de la droite M0M est:

T(x) = (f(x)-f(x0))/(x-x0)

Lorsque x tend vers x0, M et M0 se confondent, on a donc:

La droite T(x) devient la tangente à Cf ou point M0

->Pour avoir le coefficient directeur de la tangente à un point, on utilise donc la limite de T(x):

Quand x->x0, le coefficient directeur de la tangente est de:

lim (f(x)-f(x0))/(x-x0)

REMARQUE: il faut que la limite soit finie

définitions dérivable et nombre dérivé

f(x): une fonction définie sur un intervalle I, x0 ∈I

Définition de dérivable

La fonction f est dite dérivable si, quand x tend vers 0:

lim ((f(x)-f(x0))/(x-x0 existe et est définie

définition de nombre dérivé

Si f est dérivable en x0

f'(x0) = (f(x)- f(x0))/(x-x0)

On a aussi la forme:

Pour h tend vers 0, f'(x0) = lim (f(x+h)-f(x))/h

Le nombre f'(xO) est appelé nombre dérivé de f en x0

Pente et équation d'une tangente

Cf: la courbe représentante de f

M0: le point de Cf d'abscisse x0

Pente de la tangente

Si f est dérivable en x0, alors il existe une tangente en M0

Le coefficient directeur (ou pente) de cette tangente est le nombre dérivé de f en l'abscisse du point sur lequel existe la tangente

Ici: le coefficient directeur de la tangente est le nombre dérivé de f en x0 de M0

Soit: f'(x0)

Équation d'une tangente

L'équation de la tangente à Cf au point d'abscisse x0: y = f'(x0)*(x-x0)+ f(x0)

Propriétés

f dérivable en x0=> f est continue en x0

REMARQUE: La réciproque est fausse

exemple avec la fonction valeur absolue, définie mais pas dérivable en 0

Fonction dérivée

Dérivabilité sur un ensemble

Df': un ensemble de définition

f est dérivable sur Df' si f est dérivable sur tout x ∈Df'

Fonction dérivée

f: une fonction définie sur Df

Df': l'ensemble de tous les réels x0 tels que f'(x0) existe

La fonction dérivée de f notée f' est la fonction qui à tout x ∈Df' fait correspondre f'(x)

Propriété

La somme, la différence, le produit, le rapport (tant que la fonction par laquelle on divise n'est pas nul) de deux fonctions dérivable sur un ensemble I

Sont dérivable sur l'ensemble I

Formules de dérivation

Dérivée et opérations algébriques

-Soit: U et V, 2 fonctions définies et dérivable sur un intervalle I, avec V non nul

Opération de fonction: Opération des dérivées
U + V U'+ V'
k*U k*U'
U*V U'V + V'U
U/V (U'V - V'U)/V²
1/V -V'/V²

Dérivées usuelle

D de définition de f Fonction de référence f(x) fonction dérivée de f(x): f'(x) D de définition de f'
R f(x) = k f'(x) = 0 R
R f(x) = x f'(x) = 1 R
R f(x) = ax f'(x) = a R
R f(x) = ax+b f'(x) = a R
R+ f(x) = √x f'(x) = 1/(2√(x)) ]0;+∞[
R f(x) = x² f'(x) = 2x R
R f(x) = xn f'(x) = nxn-1 R
]-∞;0[ et ]0;+∞[ f(x) = 1/x f'(x) = -1/x² ]-∞;0[ ou ]0;+∞[
]-∞;0[ et ]0;+∞[ f(x) = 1/(xn) f'(x) = -n/(xn+1) ]-∞;0[ ou ]0;+∞[
R f(x) = |x| f'(x) = |x|/x R*

Dérivée de fonctions composées

Formule générale

u: une fonction dérivable sur un intervalle I

v: une fonction dérivable sur un intervalle J

f: une fonction tel que f=v(u(x))

Pour tout x de I, u(x) ∈J

Donc f = v(u(x)) est dérivable sur I et f' = u'* v'(u(x))

Application

n ∈ N \{0;1}, (un)' = n*u'*un-1

Cette formule est valable partout où u est dérivable

n ∈N*, 1/un = (n*u')/un+1

Cette formule est valable partout où u est dérivable et non nul

(√(u))' = u'/(2√(u))

Cette formule est valable partout où u est dérivable et non nul

Dérivée et sens de variation

Condition nécessaire sur la dérivé

f(x): une fonction dérivable sur un intervalle I

Si: f(x) est décroissante, alors f'(x) ≥0

Si: f(x) est croissante, alors f'(x) ≤0

Conséquences

Si f(x) a un extremum en x0 ∈ I ouvert, alors f'(x)=0

Remarque: la réciproque est fausse

Conditions suffisante sur la dérivé

f: une fonction dérivable sur un intervalle I

∀x∈I, f'(x)>0 -> f strictement croissante sur I

∀x∈I, f'(x)<0 -> f strictement décroissante sur I

∀x∈I, f'(x)≥0 -> f croissante sur I

∀x∈I, f'(x)≤0 -> f décroissante sur I

∀x∈I, f'(x)=0 -> f constante sur I

Remarque: un fonction reste strictement monotone même si sa dérivée s'annule en un nombre fini de points

Condition d'existence d'un extremum local

Théorème:

f: une fonction dérivable sur un intervalle I ouvert

SI: il existe un a∈ I tel que f' = 0

ET SI f' change de signe

Alors: f admet un extremum en a

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