PPCM de deux entiers relatifs |cours de spé maths terminale

Cours et code réalisé par Vincent Maffet

I PPCM de deux entiers relatifs

1) PPCM de deux entiers naturels

Propriété-définition :

Soit a et b deux entiers naturels non nuls

L'ensemble des multiples communs strictement positifs de a et de b admet un plus petit élément appelé PPCM de a et de b noté PPCM(a;b)

Remarques :

Si b divise a, alors PPCM(a;b)=a

PPCM(a;1)=a

PPCM(a;a)=a

Propriété :

Soit a et b deux entiers naturels non nuls. L'ensemble des multiples communs à a et b est l'ensemble des multiples du PPCM(a;b)

Démonstration

- On pose m=PPCM(a;b), m est un multiple de a et un multiple de b.

Tout multiple de m est un multiple de a et un multiple de b, donc un multiple commun à a et b.

- Soit M un multiple commun à a et à b.

M = mq+r avec 0 ≤ r < m et q ∈ Z

a et b divisent m et a et b divisent M donc a et b divise M-mq c'est à dire r

Donc r est un multiple de a et de b tel que 0 ≤ r < m

Soit r=0 et M = mq soit M est un multiple de m

Conclusion, M est un multiple commun à a et b ⇔ M est un multiple du PPCM(a;b)

2) Extension du PPCM aux entiers relatifs

Définition :

Soit a et b deux entiers naturels relatifs non nuls. PPCM(a;b)=PPCM(|a|;|b|)

3) Propriétés du PPCM

Théorème :

Soit a, b et k trois entiers relatifs non nuls

PPCM(ka;kb)=|k|PPCM(a;b)

a) PPCM et décomposition en facteurs premiers

Propriété

Le PPCM(a;b) est égal au produit de tous les facteurs premiers figurants dans l'un ou l'autre des décompositions de a et de b, chacun d'eux étant affecté du plus grand exposant avec lequel il apparait dans le décomposition de a et b

b) Relation entre PGCD et PPCM

Théorème :

Soit a et b deux entiers naturels non nuls

PGCD(a;b)xPPCM(a;b)=ab

Démonstration :

Soit d=PGCD(a;b)

Alors il existe deux entiers naturels a' et b' non nuls premiers entre eux tels que a = da' et b = db'

On considère l'entier da'b'

- da'b' est un multiple commun à a et b car da'b' = ab' = a'b

- Soit M un multiple commun à a et b

On peut écrire M = αa avec α ∈ N et M = βb avec β ∈ N

alors M = αda' = βdb'

D'où αa' = βb' car d > 0, or a' et b' sont premiers entre eux donc d'après le théorème de Gauss, α divise β

Alors β = ka' avec k ∈ N

On obtient que M = βdb'= kda'b'

Donc tout multiple commun à a et b est un multiple de da'b', et le plus petit commun multiple à a et b est da'b'

C'est à dire PPCM(a;b)=da'b' en multipliant les deux menbres par d, on obtient : d*PPCM(a;b)=da'*db'

Soit PGCD(a;b)xPPCM(a;b) = a*b

Conséquence :

Propriété :

Si a et b sont premiers entre eux, PPCM(a;b)=ab

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