Nombres premiers |cours de spé maths terminale

Cours et code réalisé par Vincent Maffet

I. Nombres premiers

Rappel : Dire qu'un entier naturel est premier signifie qu'il admet exactement deux diviseurs dans N: 1 et lui-même

1) Reconnaissance d'un nombre premier

Théorème des diviseurs premiers

Tout entier naturel non premier, distinct de 1 admet au moins un diviseur premier, son plus petit diviseur dans N autre que 1

Demonstration :

Si n>1 et n non premier, l'ensemble de ses diviseurs strictement supérieurs à 1 contient au moins un élément n

On note p le plus petit des ses diviseurs

On suppose que p n'est pas premier, alors p admet un diviseur d tel que 1<d<p

d divise p et p divise n, donc d divise n, ce qui est impossible, car p est le plus petit des diviseurs de n strictement supérieur à 1

L'hypothèse est fausse, et p est premier

Théorème (exigible)

Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2

Si n n'est divisible par aucun entier premier p

tel que 2≤p≤√(n) alors n est premier

Démonstration par contraposition

Contraposition : Si P alors Q ⇔ Si non Q alors non P

Si n n'est pas premier alors d'après le théorème précédent, n admet un diviseur premier p qui est son plus petit diviseur

Donc n=pq avec 1<p≤q

p≤q ⇔ p ✕ p≤p ✕ q

⇔ p²≤n

Donc 2≤p≤√(n) (p premier donc p≥2)

Ainsi n=pq avec 2≤p≤√(n)

Par contraposition, si n n'est divisible par aucun entier premier p tel que 2≤p≤√(n) alors n est premier

2) La suite des nombres premiers

Théorème (exigible)

Il existe une infinité de nombres premiers

Demonstration

Supposons qu'il existe un nombre fini de nombres premiers: p₁,p₂,p₃,...,p_n

On considère le nombre a=p₁ ✕ p₂ ✕ p₃ ✕ ... ✕ p_n+1

Ce nombre a est différent de 1 donc il admet au moins un diviseur premier p avec p_i ∈ {p₁,p₂,p₃,...,p_n}

p_i divise a et p_i divise p₁ ✕ p₂ ✕ p₃ ✕ ... ✕ p_n donc il divise la différence a-p₁ ✕ p₂ ✕ p₃ ✕ ... ✕ p_n, c'est a dire 1. Ce qui est impossible

L'hypothèse est fausse et il existe une infinité de nombres premiers

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