Marches aléatoires |cours de spé maths terminale

Cours et code réalisé par Vincent Maffet

I Marches aléatoires

1) Marches aléatoires

a) Graphe et matrice de transition :

On se déplace toujours d'un sommet à l'autre en suivant le sens des flèches

la probabilité chaque déplacement (ou non déplacement) sur une arrête se situe sur le sommet (cercle) sur lequel on arrive

➥ Il faut prendre en compte du sommet de départ

Exemple d'un graphe de marche aléatoire avec 4 sommets:

b) Matrice de transition :

Les probabilités de transition du premier sommet vers les autre sommet se retrouvent sur la première ligne de la matrice

➥ Celle du deuxièmes sommet vers les autres sommet se situe sur la 2ème ligne

➨ Il en va ainsi de suite pour chaque sommet

➨Chaque ligne correspond au probabilités d'un sommet vers les autres

La somme des coefficients d'une même ligne est toujours égal à 1

Remarque:

On utilise souvent des matrices de transition dont la probabilité à l'intersection entre la ligne i et la colonne j est la probabilité de passer du sommet j vers le sommet i

➥ les matrices des états sont des matrices colonnes

c) Marche aléatoire à deux états :

Propriété: Toute matrice de transition d'une marche aléatoire à deux états est de la forme:

$(\table 1-a , a ; b , 1-b )$ où a = p_1,2 et b = p_2,1

d) Marche aléatoire à N états :

on appelle transition ou passage le fait de passer d'un sommet à un autre (= passer de i à j ), cet évènement a pour probabilité: p_ij

On suppose que:

Les probabilités sont identiques quel que soit le chemin déjà effectué

➥ Donc l' évènement "arriver au sommet j en partant du point i" est indépendant des évènements précédents

➨La probabilité de cet évènement est toujours la même

Définition de la marche aléatoire à N états:

La matrice de transition d'une marche aléatoire est la matrice carré dont les coefficients situés en (i,j) (intersection entre la ligne i et colonne j) est la probabilité de transition de l'état i vers l'état j

Exemple:

U₀ = ( P(X₀ = 1) P(X₀ = 2) P(X₀ = 3) P(X₀ = 4))

U₁ = ( P(X₁ = 1) P(X₁ = 2) P(X₁ = 3) P(X₁ = 4))

...

U_n = ( P(X_n = 1) P(X_n = 2) P(X_n = 3) P(X_n = 4))

u_n+1 = U_n ✕ A

Avec A = $(\table 0 , 1/3 , 1/3 , 1/3 ; 1 , 0 , 0 , 0 ; 1/2 , 0 , 0 , 1/2 ; 0 , 1 , 0 , 0)$

On a donc U_n = u₀ ✕ Aⁿ

➥On le démontre facilement par récurrence

Propriété:

-Soit (U_n) la matrice ligne associée à une marche aléatoire ayant N états à l'instant n

-Soit M sa matrice de transition

⇒ Alors, pour tout n ≥0: U_n+1 = U_nM et U_n = U₀Mⁿ

➥ U_nest une suite géométrique de raison M

2) Étude asymptotique des marches aléatoires

a) Étude asymptotique d'une marche aléatoire à deux états :

Propriété:

Soit une marche à 2 états de matrice de transition $(\table 1-1, a ;b , 1-b)$

Avec (a,b) ≠ (0,0) et (a,b) ≠ (1,1)

La suite U_n converge vers la matrice ligne ($b/{a+b} , a/{a + b}) qui définit un état stable

remarques

➥ Si a = 1 et b = 1 :

M =$(\table 0, 1 ;1, 0)$

M² =$(\table 1, 0 ;0, 1)$

M³ = M

➥ Si a = 0 et b = 0 :

M =$(\table 1, 0 ;0, 1)$

M² =$(\table 1, 0 ;0, 1)$

M³ =$(\table 1, 0 ;0, 1)$

b) Étude asymptotique d'une marche aléatoire à N états :

Propriété:

-Soit une marche aléatoire à N états et sa matrice de transition M

Si, il existe un entier naturel n tels que Mⁿ n'a aucun coefficient nul:

⇒ Alors la suite (U_n) est convergente avec une limite définissant un état stable

➥De plus, la limite est solution de l'équation U = U ✕ M

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