Divisibilité dans Z |cours de spé maths terminale

Cours et code réalisé par Vincent Maffet

I Divisibilité dans Z

1) Multiples et diviseurs d'un entier relatif

Définition :

Soit a et b deux entiers relatifs

Dire que b divise a signifie qu'il 'existe un entier relatif c tel que a = bc

On dit aussi que "b est un diviseur de a" ou "a est un multiple de b"

On note aussi $b/a$

Remarques :

Le mot "entier" sans précision signifie "entier relatif"

Tout entier relatif a divise 0 car 0= a ✕ 0, mais 0 ne divise aucun entier relatif donc a ≠ 0

1 et -1 divisent tout entier relatif a car a = 1 ✕ a = -1 ✕ (-a)

Tout entier relatif non nul a admet un nombre fini de diviseurs. Il en admet 2 ✕ |a| au plus

2) Propriétés de la divisibilité dans Z

Soit a, b et c 3 entiers relatifs non nuls

Propriétés :

- Si a divise b et b divise c, alors a divise c.

Démonstration : a divise b et b divise c donc il existe 2 entiers relatifs k et k' tel que b = ak et c = bk'. Alors c = bk' = (ak) ✕ k' = a ✕ k ✕ k'. Donc a divise c (car k ✕ k'∈ Z)

- Si a divise b alors pour tout entier relatif m, ma divise mb

- Si a divise b et c alors a divise b+c et b-c

- Plus généralement, si a divise b et c alors pour tout entiers relatifs m et m', a divise mb et m'c

Démonstration : a divise b et c donc il existe 2 entiers relatifs k et k' tels que b = ak et c = ak'. Alors mb + m'c = m(ak) + m'(ak') = a(mk + m'k'). donc a divise mb et m'c ( car mk + m'k' ∈ Z)

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