Décomposition en produit de facteurs premiers |cours de spé maths terminale

Cours et code réalisé par Vincent Maffet

I Décomposition en produit de facteurs premiers

1) Existence d'une décomposition

Théorème fondamental de l'arithmétique :

Tout entier naturel n≥2 est premier ou produit de nombres premiers

Démonstration :

n≥2 donc que n soit premier ou non, il admet un diviseur premier p₁ tel que n=p₁n₁ avec 1≤n₁<n

- Si n₁=1 alors n=p₁ et n est un nombre premier

- Si n₁≥2 alors que n₁ soit premier ou non, il admet un diviseur premier p₂ tel que n₁=p₂n₂ avec 1≤n₂<n₁

- Si n₂=1 alors n est le produit de 2 nombres premiers n=p₁p₂

- Si n₂≥2 alors que n₂ soit premier ou non, il admet un diviseur premier p₃ tel que n₂=p₃n₃ avec 1≤n₃<n₂ et n=p₁p₂p₃n₃

De proche en proche, on obtient une suite décroissante d'entiers naturels n tel que 1≤...<n_i<...<n₂<n₁<n

Cette suite est finie et le dernier d'entre eux est nécessairement égal à 1, donc n=p₁p₂p₃...p_k avec p₁,p₂,...p_k premiers.

On obtient la décomposition en facteurs premiers de n en regroupant les mêmes nombres premiers : n=p₁^α₁ ✕ p₂^α₂ ✕ ... ✕ p_r^α_r

Où p₁, p₂,...p_r sont des nombres premiers distincts et α₁, α₂,...α_r sont des entiers naturels

2) Unicité de la décomposition

Théorème :

La décomposition en produit de facteurs premiers de tout entier naturel n supérieur où égal à 2 est unique.

3) Application à la recherche de diviseurs

Théorème :

Soit n ∈ N, n≥2, n se décomposant en produit de facteurs premiers sous la forme n=p₁^α₁ ✕ p₂^α₂ ✕ ... ✕ p_r^α_r

Alors les diviseurs positifs de n sont les entiers de la forme p₁^β₁ ✕ p₂^β₂ ✕ ... ✕ p_r^β_r avec 0≤β_i≤α_i pour tout i tel que 1≤i≤r

Remarque importante :

Soit n≥2, ayant pour décomposition en facteurs premiers p₁^α₁ ✕ p₂^α₂ ✕ ... ✕ p_r^α_r, alors n a (α₁+1) ✕ (α₂+1) ✕ ... ✕ (α_r+1) diviseurs positifs

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