Énergie,puissance,rendement| Cours de science de l'ingénieur

I Énergie mécanique

1) Définition de l'énergie mécanique

-Le travail (ou l'énergie) représente ce qu'il faut fournir à un système pour l'amener d'un état initial à un état finale

➥L'énergie est indépendant de la méthode que l'on utiliser pour passer de cet état à l'autre

-L'énergie est le produit d'une grandeur d'effort, par une dimension

➥E = effort x (dimension: distance, temps...)

2) Énergie ou travail élémentaire d'une force constante

ΔJ (ou ΔW): Énergie élémentaire fournie par F

L'énergie fournie par F est le produit scalaire de 2 vecteurs: la force et le vecteur du déplacement de cette force:

$ Δ J = F↖ {→} ∙ L ↖{→}$

➥On a aussi: ΔJ = ||F|| x ||l|| x cos(F;l)

Avec F en Newton, l en mètre et ΔJ en joules (N.m)

$ F↖ {→}$ : force de F

$ L ↖{→} $: vecteur de déplacement du point d'application de F

-

3 cas possibles

α est l'angle entre le vecteur F et le vecteur de déplacement du point d'application de F

a) -90 < α < 90

➨cos α > 0

La force fournit de l'énergie

b) α = -90° ou α = 90°

➨cos α = 0

La force ne produit pas d'énergie

c)90°< α <270°

➨cos α <0

La force absorbe de l'énergie

3) Travail d'une force constante

Courbe de la force F, dont le point d'application se déplace de A₁ à A_n

On simplifie la trajectoire du point d'application de F

➥Déplacement qu' horizontale ou que verticale

➨Ce qui simplifie les calculs en 2 cas:

-Pour un déplacement verticale: E_n = ||F|| x ||hauteur||

➥le cosinus de l'angle entre le vecteur F et le déplacement = 1

-Pour un déplacement horizontale: E = 0

➥le cosinus de l'angle entre le vecteur F et le déplacement est nul

➨Seul le déplacement verticale compte

Formules:

$ Δ J = F↖ {→} ∙ {A_1 A_n}↖ {→}$

➥ J = (vecteur F)+(vecteur A₁A₂) + (vecteur A₂A₃)+...+(vecteur A_n-1A_n)

➨J = somme (vecteur Force x déplacement verticale), car sur le déplacement horizontal, cos = 0 (cf plus haut)

Pour faire plus simple, on a J = F x h

- F n'intervient pas dans le déplacement horizontal, c'est pour cela qu'on ne le prend pas en compte

4) Travail d'une force suivant une trajectoire circulaire

ΔΒ: angle élémentaire "très petit" = arc AB

α est constant

ΔJ: Travail élémentaire de F se déplaçant du point A à B

Formule: ΔJ = ||F|| x ΔΒ x R x cos α

Formule pour calculer l'énergie d'une force en trajectoire circulaire

Travail de la force F: J = ||F|| x θ x R x cos α

➥θ = angle parcourue en radian

➨||F|| x cos α = projection de F sur le cercle (= composante de F parallèle au sens de déplacement)

Couple: ||F|| x R

➨ L'énergie produite par un couple est donc: J = C x θ

Avec C: le couple en N.m et θ l'angle en radian

III Énergie potentielle et énergie cinétique

1) Énergie potentielle

L'énergie potentielle est le travail des forces de pesanteur

L'énergie potentielle est aussi le travail des forces d'un ressort

a)Énergie des forces de pesanteur

Formule de l'énergie potentielle de pesanteur

Ep = mgz

Avec g: constante de gravitation, m la masse et z la hauteur de l'objet

➥m x g = poids de l'objet

Pour une variation d'énergie potentielle de pesanteur:

Formule:

Ep = Ep2-Ep1 = mg(z2-z1)

➥z2: position la plus basse

Remarque: on a toujours Ep en Joules, m en newton et z en mètre

b)Énergie potentielle pour un ressort

Formule de l'énergie potentielle pour un ressort en compression

$ W = {1}/{2} \; ✕ \; K \; ✕ \; f^2$

W: énergie potentielle pour un ressort en joule

K: La caractéristiquede raideur

➥K en Newon.mètre

f: la flèche du ressort (= la hauteur du haut du ressort quand il est compressé par rapport à sa position quand il est distendue)

➥Taille de la compression

ΔW = F x f

➥Différence d'énergie potentielle = Force x distance parcourue par la flèche (= distance de compression)

Et F = K x f

Formule de l'énergie potentielle pour un ressort en torsion

$ W = K \; ✕ \; {α ^2}/{2} $

Avec α: l'angle de la rotation en degré

2)Énergie cinétique Ec

a)Énergie cinétique en translation

Formule de l'énergie cinétique en translation

$ E_c = {1}/{2} \; ✕ \; m \; ✕ \; V^2 $

Avec m: la masse et V: la vitesse en m.s^-1

Variation de l'énergie cinétique: $ E_{c2} - E_{c1} = {1}/{2} \; ✕ \; m \; ✕ \; ({V_2} ^2 - {V_1} ^2)$

b) Énergie cinétique en rotation

Formule de l'énergie cinétique en rotation

$ E_c = {1}/{2} \; ✕ \; J \; ✕ \; ω ^2 $

ω: vitesse angulaire en radian/seconde

J: moment d'inertie

➥Pour un cylindre: J = ${1}/{2}$ ✕ masse ✕ rayon²

3) Théorème de l'énergie

a)Théorème de l'énergie cinétique

Variation de l'énergie cinétique = Somme des travaux des forces extérieur au système + Somme des travaux des forces intérieur au système

b) théorème de conservation de l'énergie

Le solide doit être isolé

-Pas de forces intérieur

-Les seuls force extérieur sont les énergie potentielle (pesanteur,ressort)

Théorème de la conservation de l'énergie:

Entre l'instant t1 et l'instant t2, l'énergie mécanique du solide est constante

On a: E_{mécanique 1} = E_{mécanique 2}

REMARQUE: Énergie mécanique = énergie de potentielle + énergie cinétique

➥Ep2 + Ec s2 = Ep1 + Ec1 = constante

On l'utilise généralement sous la forme:

Ec2 - Ec1 = Ep1 -Ep2

III Puissance

1) Définition de la puissance

La puissance est un "débit" d'énergie, on a donc:

$ P = {J}/{Δ t} $

P: puissance en Watt, J: énergie en Joule, et Δt: un intervalle de temps

2) Puissance développée par une force

L'énergie développée par une force:

j = F ∙ l

F: vecteur de la force et l: vecteur de déplacement de la force

On a donc:

$P ={F↖ {→}∙l↖ {→}/{T}$

Car on a: $P ={j}/{T}$

Expression de la puissance avec la force et la vitesse:

Comme $ P ={F↖ {→}.l↖ {→}/{T}$ , on retrouve la formule:

P = F ∙ V

P: puissance en Watt, F: le vecteur de la force et V: la vitesse

3) Puissance développée par un couple

Énergie créée par un couple:

J = C ∙ Θ

J: énergie en joule, C: couple en N.m et Θ: l'angle parcourue en radian

On a donc:

$P ={C↖{→}∙θ}/T$

Relation entre puissance et vitesse angulaire

Comme $ P ={C↖ {→}∙θ}/{T}$ , on a la relation:

P = C ∙ ω

P: puissance en Watt, C: couple en N.m et ω: vitesse angulaire

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