Le condensateur en régime transitoire| Cours de science de l'ingénieur

Le modèle électrique du condensateur en régime transitoire

On considère le modèle électrique Comme une maille contenant:

-Un générateur produisant une tension Eg

-Une résistance R parcourue par une tension Vr

-Un condensateur C (de capacité c en Farad) parcourue par une tension Vc

➥La maille est parcourue par un courant Ic

Problématique

On cherche à savoir comment évolue Vc quand Eg varie en fonction du temps

Type de variation de Eg

Un échelon de tension à la date t0

Le condensateur

La tension initiale du condensateur C est chargé à la tension: Vc=V_init

A la date t0 = 0, C est soumis à un échelon de tension issue du générateur Eg

➥Eg passe de V_init à V_fin

Relation entre intensité du courant et tension du condensateur

On trouve la relation suivante:

$ Ic = c \;✕\; {dV_c}/{dt}$

➥Ic est égale à la dérivée du courant multiplicé par la capacité (C) du condensateur

Relation entre tension du condensateur et tension du générateur

La relation qui lie Vc à Eg est:

Eg = Vr+Vc = R ✕ Ic+Vc = $ R \;✕\; c \;✕\; {dV_c}/{dt} + V_c$

On tombe sur une équation différentielle car on a une dérivée

Quand on résous cette équation, on trouve que l'évolution de la tension aux bornes du condensateur suit une loi exponentielle de la forme:

$ V_c = V_{init} +(V_{fin}-V_{init})\;✕\;(1-e^{{-t}/{R \;✕\; c}})$

Avec les valeurs suivantes:

➥ R ✕ C (Résistance ✕ capacité): une durée en seconde, V_init: la tension de départ et V_fin la valeur de la dérivée de Vc quand t tend vers l'infinie

REMARQUE: La constante de temps R*C est souvent notée τ

➥ τ est le temps nécessaire pour atteindre 63% de la tension max (charge) et 37% de la tension (décharge)

Analyse de l'évolution de la tension vc

L'évolution de la charge suit toujours la même forme, indépendamment des valeurs de V_fin et de V_init

On trouve deux cas: le chargement et le déchargement

Le condensateur se charge

Le condensateur est en charge quand on a la relation suivante:

V_init < V_fin

Le condensateur se décharge

Le condensateur se décharge quand on a la relation suivante:

V_init > V_fin

L'évolution du chargement du condensateur (évolution de Vc en pourcentage de V_fin dure toujours le même nombre de fois R*C

➥R*C ou τ est la constante de temps exprimé en seconde

➨Le chargement ou le déchargement dure toujours k ✕ τ et le k est une constante

Calcule d'une date particulière

On cherche à déterminer la date où Vc atteint une valeur particulière

➥Problématique souvent utilisée dans les montages de type "oscillateur astable", où cette donnée sur la charge et la décharge du condensateur est très importante

Calculer la date t_x où Vc_(tx) = V_x on transforme l'équation vue plus haut on trouve alors la relation suivante:

$ t_x = R \; ✕ \; C \; ✕ \; ln({V_{fin}-V_{init}}/{V_{fin}-V_x})$

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