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Les Primitives
Définition de la primitive
Qu'est ce que la primitive ?
La primitive est tout simplement la réciproque de la dérivé
Si on fait la primitive de la dérivé d'une fonction, on obtient cette même fonction
Remarque: il y a une infinité de primitives pour une fonction
Il est important que la fonction soit dérivable pour avoir une primitive !
Définition d'une primitive
Soit f, une fonction numérique dérivable sur un intervalle I
Soit F la fonction primitive de f sur I
F est dérivable sur I si ∀ x ∈ I, F(x) = f(x)
Exemples:
La primitive de f(x) = 0 est: k (k:un réel)
La primitive de f(x) = 1 est: x+k
La primitive de f(x) = x est: ${x²}/2$ + k
La primitive de f(x) = ex est: ex + k
La primitive de f(x) = cos(x) est: sin(x) + k
Conditions d'existance:
Il suffit que la fonction soit continue sur un intervalle pour qu'elle ai une primitive sur cette intervalle
Propriétés des primitives
Relation entre les primitives d'une même fonction
Soit F1 et F2, deux primitives d'une fonction f sur un intervalle I
F1 et F2 sont, par définition dérivables sur I
On a: ∀x ∈I (F2-F1)'(x) = F1'(x)-F2'(x) = f(x)-f(x) = 0
➥F1': dérivée de la primitive de f, donc F1' = f
➥F2': dérivée de la primitive de f, donc F2' = f
On montre donc que (F2-F1) est la fonction nulle sur I
➥(F2-F1) est constante sur I
Propriété 1
Si F2 et F1 sont primitives d'une même fonction sur un intervalle I, alors :
F1-F2 = constante autrement dit, F1-F2 est une fonction constante sur I
Généralisation
Si F0 est une primitive d'une fonction f sur un intervalle I, alors toutes les primitives F de f sur I sont: définie par
∀ x ∈I: F(x) = F0(x) + k
➥k est un réel
Somme et produit des primitives
F est une primitive d'une fonction f sur I
G est une primitive d'une fonction g sur I
On a alors:
F+G est une primitive de f+g
k ✕ G est une primitive de k ✕ g
APPLICATION:
Trouver la primitive de f(x) = 6x3-$x/2$ +3 qui s'annule pour x = 1
F = 2x3 ${-x²}/4$ + 3x + k
➥ F(1) = 2 ${-1}/4$+3 +k = 0
➥k = ${-19}/4$
La primitive F est donc: F: 2x3${-x²}/4+3x-{19}/4$
Détermination de primitives
Fonction usuelles
n ∈ Z (= un entier) et k: un réel
| f(x) | F(x) | Domaine de validité |
|---|---|---|
| 0 | k | R |
| a | ax+k | R |
| x | ${x²}/2$ +k | R |
| xn, n≥1 | ${x^{n+1}}/{n+1}$ +k | R |
| xn, n≤-2 | ${x^{n+1}}/(n+1)$ +k | R * |
| $1/{x^n}$, n≥2 | $1/(1-n)$ ✕ $1/{x^{n-1}$ +k | R * |
| $1/{√(x)}$ | 2√(x) +k | R+* |
| $1/x$ | ln(|x|) | R* |
| ex | ex +k | R |
| sin (x) | - cos(x) +k | R |
| cos(x) | sin(x) +k | R |
REMARQUE: $1/{x^n}$ = x-n
Primitives de fonctions écrites dans la forme u' ✕ (v'(u))
Exemple: f(x) = ${3x²}/{2√(x^3+1)}$
➥f est de la forme ${u'}/{2√(u)}$
Donc F = √(u)
➥F = √(x3)
g(x) = 6(2x+1) ✕ (x²+x-3)5
On a la forme: (un)' = nu'un-1 Avec u(x) = x²+x+3
h(x) = $1/{(3x-5)^7}$, On a donc presque la forme ($1/{u^n}$)' = ${-nu'}/u$n+1 avec n = 6
On a donc: H = $1/{(3x-5)^6$ mais alors h(x) serais égale à ${-18}/{(3x-5)^7}$, il nous faut 1 au dénominateur
Pour mettre à 1 le numérateur, on multiplie par $1/{-18}$
On a donc: H(x) = k ✕ $1/{u^n} = {-1}/{18} ✕ 1/{(3x-5)^6} $avec u(x) = 3x-5
➨Il faut souvent moduler l'expression de la fonction pour pouvoir trouver la primitive
Tableau des primitives de fonction composé
I: un intervalle où U est dérivable
I0: ensemble de valeur où u s'annule
Ck: fonction constante sur I
n ∈ Z\{0;1}
| f(x) | F(x) | Domaine de validité |
|---|---|---|
| u' ✕ un | ${u^{n+1}}/(n+1)$ +Ck | I si n>1, I0 si n≤-2 |
| ${u'}/{u^n}$ | $1/(1-n) ✕ 1/{u^{n-1}}$ +Ck | I\I0 |
| ${u'}/{√(u)}$ | 2√(u)+Ck | I si n≥1, I0 si n≤-2 |
| u'eu | eu+Ck | I |
| u' cos(u) | sin(u)+Ck | I |
| u' sin(u) | -cos(u)+Ck | I |
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