Outils pour la démonstration en mathématiques

I Propositions

Quand une proposition est vrai, son contraire est faux (et inversement)

II Les quantificateurs

1) Définition

a) Le quantificateur universel

-Notation: ∀

Il signifie: "Pour tout"

b) Le quantificateur existenciel

-Notation: ∃

Il signifie: "Il existe un"

2) Négation

a) Négation d'une proposition contenant ∀

-On utilise ∃

➥ ∃ x pour lequel la proposition ne marche pas

b) Négation d'une proposition contenant ∃

- On utilise ∀

➥∀ x, la proposition est fausse

III Les opérateurs logique

Pout plus d'information sur les opérateurs logiques:

Le cours de science de l'ingénieur sur la logique combinatoire

Remarque /A veut dire non A ($ \ov{A}$) on l'utilise souvent en informatique

1) L'opérateur ET

Si A est vrai ET B est vrai, alors la proposition AB est vraie

2)L'opérateur OU

Si A est vrai OU B est vrai(ou A et B sont vrai tout le deux pour un OU inclusif), Alors AB est vrai

3) Négation des opérateurs ET et OU

Théorème de Morgan

$ {(A \; et \; B)}↖ {-} = \ov{A} \; ou\; \ov{B}$

$ {(A \; ou \; B)}↖ {-} = \ov{A} \; et \; \ov{B}$

4) L'opérateur implication

L'opérateur implication est aussi appelé l'opérateur "Si...Alors"

Notation: ⇒

A⇒B équivaut à ($ \ov{A}$ ou B)

/A veut dire non A ($ \ov{A}$)

a) Définition de l'implication

-L'implication, A⇒B ($ \ov{B} ⇒ \ov{A}$)dit que si A est vrai, alors B est vrai

➥ Si on a A, alors on a B

b) Table de vérité

c) Contraposé d'une implication

(A⇒B) équivaut à ($ \ov{A} ⇒ \ov{B})$ équivaut à (B ou A) équivaut à ($ {B}↖ {-}↖ {-} ou {A}↖ {-}↖ {-}$)

Donc (A⇒B) = ($ \ov{B} ⇒ \ov{A}$)

Définition de la contraposé: ($ \ov{B} ⇒ \ov{A}$) est la contraposé de A⇒B

Exemple: x<1 ⇒ x< 2 : A ⇒B

Contraposé: x>2 ⇒ x>1 : ($ \ov{B} ⇒ \ov{A}$)

d) Négation de l'implication

$\ov{(A ⇒ B)} ⇔ \ov{( {A}↖ {-} \; ou \; B)} ⇔ {\ov{A}} ⇔ A$ et $ \ov{B}$

-Il faut montrer que l'on peut avoir A vrai ET B faux

e) Condition nécessaire, condition suffisante

Pour A⇒B

A est une condition suffisante pour B

➥Il suffit que A soit vrai, pour que B soit vrai

B est une condition nécessaire pour A

➥Il faut que B soit vrai, pour avoir A est vrai

5) L'opérateur logique équivalent

L'opérateur logique est aussi "si et seulement si"

-Notation: ⇔

Définition: A⇔B est la même chose que (A⇒B ET B⇒ A)

➥implication dans les 2 sens

Donc 2 propositions équivalente sont soit:

Vraies toutes les deux en même temps

Fausses toutes les deux en même temps

IV Raisonnement par l'absurde

Le principe du raisonnement par l'absurde

Le principe du raisonnement par l'absurde est de démontrer que le contraire de la proposition est faux, en partant du principe que ce contraire est vrai

Explication du raisonnement par l'absurde

On cherche à prouver que B est vrai:

-On suppose que B est faux (donc $ \ov{B}$) est vrai)

-On montre ensuite qu'une proposition A et sont contraires ($ \ov{A}$) sont vraies

➥Une contradiction est vraie

-Cela n'étant possible que si $ \ov{B}$ est faux

➥Donc B est vrai

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