Le logarithme népérien

Définition du logarithme népérien

La fonction logarithme népérien est la primitive sur ]0;+∞[ et qui s'annulent en 1 de la fonction$1/x$

➥Cette primitive existe car la courbe $1/x$ est continue sur R^+*

Le logarithme népérien est noté: ln

La fonction ln est donc la fonction définie sur R^+* par:

ln(x) = ₁∫^x $1/t dt$

Conséquences

∀ x ]0;+∞[, ln'(x) = $1/x$

[ln(ax)]' = (ax)' ✕ ln'(ax) = a ✕ $1/(ax) = 1/x$

REMARQUE: ax doit être supérieur à 0

(ln(|x|)' = $1/x$

Signe du logarithme de x

On sait que ∀ t ∈ ]0;+∞[, $1/t$ >0

Si: x>1: ln(x) = ₁∫^t $1/t$ dt >0

Si: 0 < x < 1: ln(x) = -₁∫^t $1/t$ dt donc ln <0

Donc: si x>1: ln (x) >0

Donc: si 0<x<1: ln (x) <0

Et: ln (1) = 0

Propriété algébriques

a et b: 2 réels strictement positifs

Relation fondamentale du logarithme

Le logarithme transforme les multiplications en sommes

On a donc la relation: ln (a ✕ b) = ln(a)+ln(b)

ln($1/b$) = -ln(b)

Preuve: ln (1) = 0

Or: ln (1) = ln(($1/b$) ✕ b) = ln ($1/b$) +ln(b)

Donc ln ($1/b$) +ln (b) = 0

Ce qui fait que $ln (1/b) = -ln (b)$

ln ($a/b$) = ln (a) -ln(b)

Preuve: $ln (a/b) = ln (a ✕ 1/b) = ln (a)+ ln(1/b)$

Comme ln ($1/b$) = -ln (b)

On a donc: ln ($a/b$) = ln(a)-ln(b)

∀ n ∈ Z, ln (aⁿ)= n ✕ ln(a)

Preuve: Pour n ∈ N, on utilise la récurrence

->On montre que c'est vrai avec n = 0, puis on part de ln (aⁿ) = n ✕ ln(a) pour arriver à aⁿ⁺¹ = (n+1) ✕ ln(a)

Pour n ∈ Z et n < 0, on fait un changement de variable

On prend p = -n (avec n ≥1)

On a donc: ln(aⁿ = ln ($1/{a^{ \; p}}$) = -ln (a^p (car ln ($1/b$) = -ln(b))

Ce qui fait que -ln (a^p = -p ✕ ln(a) = n ✕ ln(a) (car -p = n)

$ln √(a) = (1/2) ✕ ln (a)$

Comme √(a) = $a^^{1/2}$ On utilise la relation vue plus haut: ln (a^x) = x ✕ ln (a)

Étude la fonction ln

ln est dérivable et continu sur ]0;+∞[

La dérivée de ln est la fonction inverse

➥ ln'(x) = $1/x$

Comme $1/x$ >0 sur ]0;+∞[, alors ln est strictement croissante sur ]0;+∞[

Limites aux bornes

Quand x tend vers +∞: lim ln(x) = +∞

Quand x tend vers 0: lim ln(x) = -∞

On trouve donc que l'axe des ordonnées est asymptoteà la courbe représentant le logarithme népérien

REMARQUE: ln(1) = 0 et ln(e) = 1

Dérivée et primitives avec ln

Dérivée

Soit: u, une fonction dérivable et positive sur un intervalle I

Alors ln(u) est dérivable sur I et:

$ln'(u) = {u'}/u$

Exemple: ln'(x) = $1/x$, ln'($(x+3)/(x-2)$) = ${{-5}/{(x-2)²}}/{(x+3)/(x-2)}$

Primitives

u: une fonction dérivable et positive sur un intervalle I

La dérivée de u: u' est continu sur l'intervalle I

Une primitive de ${u'}/u$ sur I est la fonction ln(u)

REMARQUE: Si u est de signe quelconque et ne s'annule pas sur I alors une primitive de ${u'}/u$ est: ln(|u|)

Comparaison de ln(x) et puissances de x en 0 et en + ∞

Une propriété

Pour tout x compris entre ]0;+∞[ alors: ln(x) ≤ x-1

Pour le prouver, on fait l'étude la fonction g(x) = ln(x)-x+1

➥On fait la dérivée, en déduit le sens de variation et on prouve que g(x) ≤ 0

->Il faut s'aider du maximum de g(x)

Limite de ${ln(x)}/x$ en l'infini

Quand x tend vers + ∞:

lim ${ln(x)}/x = 0$

Preuve: ∀ x ≥ 0

0≤ ln(√(x)) ≤ √(x)

0≤ $1/2$ ✕ ln(x) ≤ √(x)

➥ √(x) = x^$1/2$

0≤ln(x) ≤ 2 ✕ √(x)

0≤${ln(x)}/x$ ≤ $2 ✕ {√(x)/x}$

0≤${ln(x)}/x$ ≤ $2/{√(x)}$

Donc d'après le théorème des gendarmes, la limite est égale à 0 en + ∞

Limite de x ✕ ln(x) en 0

Quand x tend vers 0:

lim (x ✕ ln(x)) = 0

Preuve: on fait un changement de variable: X = $1/x$ et on cherche la limite de X ✕ ln(X) quand x tend vers + l'infini

➥On tombe sur l'expression ${ln(x)}/x$ et on fait sa limite quand x tend vers + ∞

Remarque: dans une limite, ln(x) perd toujours, contrairement à e^x

Réciproque de la fonction ln

La fonction f(x) est la réciproque de g(x) tel que:

f(g(x)) = g(f(x)) = x

Exemple: √ de x est la réciproque de x²

➥ √ (x²) = √(x) = x

Existence

La fonction ln est strictement croissante sur ]0;+∞[

➥Elle établit donc une bijection de ]0;+∞[ à ln(]0;+∞[) = R

On définit alors la réciproque f(x) qui à tout x de R fait correspondre un x ∈ ]0;+∞[ tel que y = ln(x)

On a alors: x = f(y) ⇔ y = ln (x)

Propriété

On fait l'étude la dérivée de f(x)

Idée directrice du raisonnement:

soit un x0 ∈ R tel que x est toujours différents de x0

On dérive donc: $(f(x)-f(x0))/(x-x0) = (y-y0)/(hy-hy0)$

On admet que l'on peut écrire:

quand x tend vers x0

lim_y→y0 $((fx)-f(x0)/(x-x0))$ = lim $(y-y0)/(hy-hy0)$ quand y tend vers y0

On a donc: lim_y→y0 $(1/(hy-hy0)/(y-y0)) = 1/{h'y0} = 1/1/{hy0} = y0$

Donc f'(x) = f(x)

Donc f(x) est sa propre dérivée

De plus, ln(1) = 0 donc f(0) = 1

➥f(x) =e^x

La fonction réciproque à la fonction logarithme est donc la fonction exponentielle

Egalité et inégalité avec ln

Comme ln est une bijection:

-Si a >0 ou b>0 alors:

ln(a) = ln(b) ⇔ a = b

Comme ln es croissante sur R:

si a>0 et b>0

ln(a) < ln(b) ⇔ a<b

Comme e^x et ln sont réciproques:

∀ a ∈ R ln(e^a) = a

et, ∀ b ∈ ]0;+∞[, e^{ln b} = b

Comparaison de ln(x) et x-1 au voisinage de 0

On sait que ln est dérivable en 1 et que ln' = $1/1$ = 1

Donc quand x tend vers 1:

$lim ((ln(x)-ln(1))/(x-1)) = lim (ln(x)/(x-1)) = 1$

On peut aussi écrire: quand h tend vers 0, ${ln(1+h)}/h = 1$

Partagez ce cours !

Suivez Nicolas KRITTER sur google + ( cours inspiré de celui fait par le professeur de la classe)