Les limites des suites|cours de maths terminale

I Introduction, limites des suites

1)Notion de limite

Exemple:

Approximation du nombre "pi" par Archimède (-287,-212)

-Création d'un cercle, puis construction de polygones inscrit ou exinscrit à partir des polygones précédents

➥Cette suite de polygone tend vers le cercle (les polygones tendent à épouser parfaitement les formes du cercle

2)Avec les suites, limites quand n tend vers +∞

U_n = n : limite = + ∞

avec n>0, U_n = $1/n$ : limite = 0

Pour n non nul et n tend vers l'infinie:

$\U_n = ∑↙{k=1}↖n 1/k$: limite = + ∞

$U_n = ∑↙{k=1}↖n 1/k$: limite = un réel

$ U_n = {-1^n}/{n}$

-On peut avoir une idée sur la limite d'une suite sans calculs

➥aide à savoir grossièrement le résultat que l'on devrait obtenir (= aide aux calculs)

-La difficulté est de définir correctement la limite d'une suite, si elle existe

Chercher la limite d'une suite c'est chercher une valeur vers laquelle tend la suite quand n croît indéfiniment

II Mise en place de la définition

Raisonnement

∀n ∈ N, U_n = $1/n$

-Les termes de la suite semblent tendre vers 0

-On fait une hypothèse que:

Aussi petit que soit l'intervalle [0;ε[ avec ε >0, à partir d'un rang n, tous les termes de la suite seront dans cette intervalle

-On cherche maintenant à trouver un rang à partir duquel cette situation est vrai

Soit ε >0 et aussi petit que l'on veut

n₀ est un nombre tel que: n₀ ∈N et $n_0 > 1/ε$

et pour tout n≥n₀$ε \; > 1/{n_0} ≥ 1/n$

On a donc ∀n≥n₀ et ε> $1/n$ > 0

Donc à partir de n₀, tous les termes de la suite sont dans l'intervalle [0;ε[

la limite d'une suite, définition

Un est une suite numérique

L est un nombre réel

On dit que Un a pour limite L si:

-tout intervalle contenant L contient tous les termes de la suite Un à partir d'un rang

On note: lim(Un) = L

On peut dire aussi:

Pour tout ε >0, il existe un n₀ ∈N tel que n≥n₀ implique que |Un-L|> ε

➥Un ∈ ]L-ε ; L+ ε[

III Suite convergente

1) Définition d'une suite convergente

Une suite est convergente si elle admet une limite réelle

2) Propriété sur les limites finies de suites convergentes

La somme, la différence, le produit ou le quotient (si la suite du dénominateur ne tend pas vers 0) donne une suite convergente

Limite quand n tend vers l'infinie

Soit lim(Un) = L et lim(Vn) = L'

lim_{n → ∞} (Un+Vn) = L+L'

lim_{n → ∞} (Un-Vn) = L-L'

lim_{n → ∞} (Un ✕ Vn) = L ✕ L'

Avec L' différent de 0

lim_{n → ∞} $ ({U_n}/{V_n}) = L/{L'}$

IV Suite divergente

Suite divergente = suite non convergente

1) Suite tendant vers l'infinie

a) Définition, limites en l'infinie lim (Un) = + ∞

lim (Un) = + ∞

Pour tout A>0 et à partir d'un certain rang n, l'intervalle ]A;+∞[ contient tous les termes de la suite Un

➥ Un ∈ ]A;+∞[

On a une deuxième définition:

∀A>0, ∃ n₀ ∈ N / ∀ n≥n₀, Un>A

➥Pour tout A>0, il existe un n_O appartenant à N tel que pour tout n≥n₀, on a: Un>A

b) Définition, limiite en moins l'infinie lim (Un) = - ∞

lim (Un) = - ∞

Pour tout A<0 et à partir d'un certain rang n, l'intervalle ]-∞ ; A[ contient tous les termes de la suite Un

➥ Un ∈ ]-∞ ; A[

On a une deuxième définition:

∀A<0, ∃ n₀ ∈ N / ∀ n≥n₀, Un<A

➥Pour tout A<0, il existe un n_O appartenant à N tel que pour tout n≥n₀, on a: Un<A

2) Autres suites divergentes

Il existe des suites qui n'ont ni limites finie, ni limites infinie

Exemple: Un = (-1)ⁿ

3) Opération entre suites divergente

Quand on fait une opération entre deux suites divergente, on ne peut pas toujours prévoir la nature de la suite obtenue ( suite convergente ou divergente)

Exemple:

Un = (-1)ⁿ, Vn: (-1)ⁿ⁺¹

Wn = Un+Un → suite divergente, car on a: Wn = 2 ✕ (-1)ⁿ

An = Un+Vn → suite convergente, car on a: An = 0

V Théorème de comparaison

1) Limites finies

Théorème des gendarmes

Soit 3 suites: Un, Vn, Wn

Soit lim(Un) = lim(Wn) = L, avec L ∈ R

Si: à partir d'un rang n, Un≤Vn≤Wn

➥Si Vn appartient est compris dans l'intervalle [Un;Wn] à partir d'un rang n, et sur tout le reste de a suite

Alors: lim(Vn) = L

➥lim(Vn) = lim(Un) = lim(Wn) = L

➨Comme Vn ∈ [Un;Wn], et que Un et Wn ont la même limite, Vn à aussi la même limite que Un et Wn

Pour trouver un rang "n" qui vérifie le théorème, on cherche à quel moment Un≤Vn≤Wn en posant inéquation

Autre théorème

Soit Un et Vn, deux suites numériques

Soit L, un réel

Si: ∃ n₁ ∈ N / ∀ n≥n₁, |Un-L|≤Vn et lim(Vn) = 0

➥Si: il existe un rang n₁ appartenant à N tel que pour tout n≥n₁, on a |Un-L|≤Vn et la limite de la suite Vn est 0

Alors: Un tend vers L

➥lim(Un) = L

➨Si à partir d'un certain rang n₁ (rang à partir duquel n≥n₁) alors dans l'absolue |Un-L|≤0

➥Donc plus on avance dans les termes de la suite, plus Un s'approche de L

Remarque: |Un-L| signifie en quelque sorte: "distance entre le nombre Un et le nombre L"

2) Limite infinie

- Un et Vn sont deux suites

-A partir d'un certain rang n, Un≤Vn

Si lim(Un) = +∞

- On a alors lim(Vn) = +∞

Démonstration:

Pour tout A >0, il existe un n₀ appartenant à N, tel que pour tout n>n₀, Un>A

Et à partir d'un certain rang n, Un≤Vn

➥ Donc lim(Vn) = +∞

Si lim(Un) = -∞

-On a alors lim(Vn) = -∞

VI Limites des suites géométriques

1) Raison q>1

lim(qⁿ) = +∞

Démonstration

Pour tout a>0, pour tout n≥1

-On a: (1+a)ⁿ≥1+n ✕ a

Comme q>1

-Il existe un a ∈R+* tel que q = 1+a

-Alors pour tout n>1, qⁿ = (1+a)ⁿ ≥1+n ✕ a

-Or, comme a>0, lim(1+n ✕ a) = +∞

-Donc, par comparaison, lim(qⁿ) = ∞

2) Raison: -1<q<1

lim(qⁿ) =0

3) Raison q≤-1

(qⁿ) n'as pas de limite

(qⁿ) est divergente

4) raison q=1

lim(qⁿ) = 1

VII Suites bornée

Un est une suite définie pour tout n ∈ N

1) Suite majorées

-La suite Un est une suite majorée S'il existe un réel R tels que

La suite Un est toujours inférieur à R

-On appel alors R le majorant de Un

2) Suite minorée

-La suite Un est une suite minorée S'il existe un réel R tels que

La suite Un est toujours supérieur à R

-On appel alors R le minorant de Un

3) Suite bornée

-Une suite est une suite bornée si elle a un majorant et un minorant

VIII Monotonie et convergence

1) Suite monotone

-Une suite (Un) est monotone si à partir d'un rang n₀

Un a un sens de variation constant

2) Théorème

-Toute suite croissante majorée converge

-Toute suite décroissante minorée converge

REMARQUE:

-Ces théorèmes ne donnent pas la valeur de la limite, ils montrent simplement son existence

➥Le majorant ou le minorant n'est pas forcément la limite

3) Monotonie et divergence

-Toute suite croissante non majorée tend vers +∞

-Toute suite décroissante non minorée tend vers -∞

-

Limite de fonction

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