Les limites et asymptotes|cours de maths terminale

I Les 5 situations pour les limites

1) Limite finie en une valeur infinie

Pour x tend vers +∞ (ou -∞)

Définition de la limite

lim f(x) = L si:

Pour tout intervalle ouvert contenant L, il existe une valeur de x à partir de laquelle f(x) ∈ I

➥Avec l'intervalle I aussi "petit" que l'on veut"

2) Limite infinie pour une valeur infinie

lim f(x) = +∞ pour x tend vers +∞

Pour tout A' supérieur à 0, il existe un A>0 tel que x>A

Implique: f(x) >A' pour tout x>A, avec A' et aussi grand que l'on veut

lim f(x) = -∞ pour x tend vers +∞

Pour tout B' inférieur à 0, il existe un A>0 tel que x>A

Implique: f(x) < B' pour tout x>A, avec B' aussi petit que l'on veut

lim f(x) = +∞ pour x tend vers -∞

Pour tout A' supérieur à 0, il existe un B<0 tel que x<B

Implique: f(x)>A' pour tout x<B, avec A' aussi grand que l'on veut

lim f(x) = -∞ pour x tend vers -∞

Pour tout B' inférieur à 0, il existe un B<0 tel que x<B

Implique: f(x) < B' pour tout x<B, avec B' aussi petit que l'on veut

3) Limites infinie en une valeur finie

lim f(x) = +∞, pour x tend vers a

Pour tout A>0, il existe un α>0 tel que pour tout x |x-a|<α

➥|x-a| tend vers 0

Implique: f(x)>A et x appartient à [a-α ; a+α]

Avec A aussi grand que l'on veut

REMARQUE: α et d'autant plus petit que A est grand

lim f(x) = -∞, pour x tend vers a

Pour tout B<0, il existe un α>0 tel que pour tout x |x-a|<α

➥|x-a| tend vers 0

Implique: f(x)<B

Avec B aussi petit que l'on veut

4) Limite finie en une valeur finie

x tend vers a

lim f(x) = L si:

Pour tout ε >0, il existe un α >0 tel que |x-a|< α implique |f(x)-L|< ε

Avec ε aussi petit que l'ont veut

➥ |f(x)-L| tend vers 0

REMARQUE: α est d'autant plus petit que ε est petit

5) Absence de limite

Certaines fonctions n'ont pas de limite

Exemple:

lim sin(x) quand x tend vers +∞ n'existe pas

lim cos(x) quand x tend vers +∞ n'existe pas

II Limites et opérations algébriques

On peut utiliser les quatre opérations (+,-, ✕ ,/) sur les limites, quand elles existent

Remarque: on peut diviser par 0 dans certains cas

2)Le problème d'un dénominateur tendant vers 0

-Il faut trouver l'existence de la limite

-Il faut trouver le signe du dénominateur juste avant qu'il soit égale à 0

➥Sauf pour $0/0$: forme indéterminée

Exemple: $f(x) = 1/x$

Quand x tend vers 0, $lim 1/x$ = + ∞ ou -∞

ici, si x tend vers 0 depuis le coté positif, lim f(x) = +∞, si x tend vers 0 depuis le coté négatif, lim f(x) = -∞

On parle de limite à gauche de f(x) quand x tend vers sa valeur limite depuis le coté négatif

On parle de limite à droite de f(x) quand x tend vers sa valeur limite depuis le coté positif

3) Les formes indéterminées (F.I)

Il existe 4 types de formes indéterminée

➨+∞ -∞

➨$ ∞/∞

➨$ 0/0$

➨ ∞ x 0

➥ On ne laisse jamais la forme indéterminée

-On change donc la forme de la fonction pour arriver à trouver la limite

➥Factorisation, réduction au même dénominateur, simplification...

III Théorèmes de comparaison

Soit α un réel ou +∞ ou -∞

1) Théorème des gendarmes

Soit l ∈ R

f et h, 2 fonctions tels que:

lim f(x) = lim h(x) = l quand x tend vers α

Si: il existe un intervalle I ouvert contenant α ou ayant pour borne α

Et que, pour tout x ∈ I\{α} (= α exclu de I), f(x)≤g(x)≤h(x)

Alors: lim g(x) = l pour x tend vers α

➥lim f(x) = lim h(x) = lim g(x)

2) Comparaison à l'infini

f et g: 2 fonctions

I: un intervalle ouvert contenant α ou ayant pour borne α

Si: pour tout x ∈ I \{α}, f(x)≤g(x)

1) Si lim f(x) = +∞ quand x tend vers α

Alors lim g(x) = +∞ quand x tend vers α

2) Si lim g(x) = -∞ quand x tend vers α

Alors lim f(x) = -∞ quand x tend vers α

IV Limite d'une fonction composée

α Β et j sont des réels, ou +∞ ou -∞

Théorème de la limite d'une fonction composée

Quand x tend vers α

Si lim u(x) = Β Et Si lim v(x) = j, alors

lim v[u(x)] = j

Remarque: v[u(x)] s'écrit aussi (v ρ u)(x)

Étude d'une fonction composée

Soit 3 fonctions v(x), u(x) et v[u(x)]

Transformation de x:

x → u(x) → v(u(x))

Exemple avec la fonction g(x) = √(2x)

u(x) = 2x et v(x) = √(x)

x→ 2x → √(2x) → g(x)

Pour étudier la limite d'une fonction composé, on décompose la fonction et on étudie les limites l'une après l'autre

Exemple: $ f(x) = {sin(1/x)}/{x}$ , x → +∞

On étudie la limite la premirèe fonction:

x → $1/x$

Comme x tend vers l'infinie: lim = 0

$1/x → sin(1/x)$

On étudie la limite de la première de fonction composée en prenant compte le résultat précédent

Donc lim = sin(0) = 1

$ {sin(1/x)}/{x} → 1/0$ quand x tend vers l'infinie

Donc lim = $1/∞$ = 0

V Asymptotes

Soit f, une fonction dont la courbe représentative est C

Rappel: les fonctions qui ont une asymptotes sont de style 1/x

1) Asymptotes horizontales

Quand x ->+∞ ou x-> -∞

-Si la fonction a une limite, alors l'asymptote de C a une équation du type

y = 0

2) Asymptotes verticale

Quand x tend vers a (de n'importe quel coté)

-Si lim f(x) = +∞ ou -∞ alors l'asymptote de C a pour équation:

x = a

➥Car f'x) n'atteint jamais cette valeur

Asymptotes oblique

a,b ∈ R

Quand x → +∞ ou x → -∞

Si lim (f(x) -ax+b) = 0, alors l'asymptote de C a pour équation:

ax+b

La continuité d'une fonction

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