Coursenligne1s6.fr, fiches de révision pour lycéens de première, terminale & bac
Les intégrales
Introduction à la notion d'intégrale
Position du problème
f: une fonction continue et positive sur l'intervalle [a;b]
Cf est la courbereprésentative de f dans un repère orthonormé
Problème: On cherche à calculer l'aire de la surface( ou domaine) compris entre l'axe des abscisses et la courbe sur x ∈ [a;b]
Une autre approche de la solution dans le cas où f est croissante sur [a;b]
image à venir
On encadre donc la courbe de la fonction avec 2 fonctions de types "escalier"
->Cela découpe l'aire de la courbe en rectangles dont on peut calculer l'aire
A1: aire définie par les petits rectangles
A2: Aire définie par les grands rectangles
A: aire totale sous la courbe
Comme les subdivisions de la courbe sont égales, on a:
x1-x0 = x2-x1 = ... = xn-xn-1 = Δx
De plus: xn-x0 = b-a, on a:
Δx = $(b-a)/n$
Donc:
A1 = ∑k = 0n-1 f(xk) ✕ Δx
A2 = ∑k = 1n f(xk) ✕ Δx
Notation de la solution
Lorsque n tend vers l'infini, Δn devient "infiniment petit"
La somme qui définie A1 et A2 se fait donc sur une infinité de termes
On admet alors l'égalité suivante quand n tend vers l'infinie:
lim A1 = lim A2 = A
On note: A = a∫b f(x) d(x)
Définition et notation
L'intégral de f sur [a;b] se note: a∫bf(x) dx
➥ Se lit: "Somme (ou intégrale) de a à b de f(x) dx"
➥a représente la borne inférieur de l'intervalle
➥b représente la borne supérieure de l'intervalle
REMARQUE: dx = Δx = différence de x
Intégrale et primitive
g: une fonction continue et croissante sur [a:b]
x ∈ [a;b] et h est tel que h ≠ 0 et a+h ∈ [a;b]
A(x): aire sous la courbe sur l'intervalle [a;x]
A(a) = 0 car c'est l'aire sous la courbe du point x = a à x = a
A(b) = A = aire sous la courbe sur [a;b]
On utilise la formule ${A(x+h)-A(x)}/h$ et on cherche à l'encadrer pour pouvoir utiliser le théorème des gendarmes
Si h>0
h ✕ f(x) ≤A(x+h)-(A(x) ≤ h ✕ f(x+h)
Donc:
f(x) ≤ ${A(x+h)-(A(x))}/h$≤f(x+h)
Si h<0
- h ✕ f(x) ≤ A(x+h)-(A(x) ≤ - h ✕ f(x+h)
Donc
f(x+h) ≤${A(x+h)-(A(x))}/h$ ≤ f(x)
f est continue et la limite de f(x+h) quand h tend vers 0 est f(x)
En utilisant le théorème des gendarmes, on trouve donc:
Quand h tend vers 0, limh→0 $({A(x+h)-A(x)}/h)$ existe et vaut f(x)
Donc A est dérivable sur [a;b] et A' = f
➥A est la primitive de f sur [a;b] qui s'annule en a
Si F est une primitive de f, alors ∀ x ∈ [a;b], A(x) = F(x)-F(a)
On a donc: a∫b f(x) dx = F(b)-F(a)
Ce résultat s'étend aux autres fonctions de variation et de signes quelconques
Pour calculer une intégrale, on cherche la primitive de la fonction puis on y injecte a et b en faisant la soustraction F(a) - F(b)
Exemple de calcule d'intégrale
Calcule de I = 1∫2 (x²-3x+5) dx = [$x^3/3 \; - \;3/2 \; ✕ \; x² +5x$]12 = $2^3/3-3/2 \; ✕ \; 2² \; + \;5 \; ✕ \; 2 - (1^3/2 -3/2 \; ✕ \;1² +5 \;✕ \;1) = 17/6$
Propriété
f: une fonction continue sur un intervalle I et a ∈ I
Fe: la fonction définie sur I par : Fe = a∫xf(t) dt
Fe est donc la primitive de f qui s'annule en a
➥a représente la borne inférieur de l'intervalle
➥x représente la borne supérieure de l'intervalle
REMARQUE: Si F est une primitive quelconque de f sur I alors Fa(x) = F(x)-F(a)
REMARQUE: ∀ a ∈ I: a ∫a f(x) dx = 0
➥Car l'intervalle va du point x=a au point x=a
Propriété arithmétique des intégrales
f: une fonction continue sur l'intervalle I
Relation de Chasles
a,b: des réels appartenant à I
a∫b f(x) dx = a∫bf(x) dx + b∫a f(x) dx
REMARQUE: l'ordre de a et b ne change rien
➥ On peut avoir a>b ou b>a
Conséquences de la relation de Chasles
On a: ∀ (a,b) ∈ I², a∫a f(x) dx = 0 et a∫a = a∫b f(x) dx+b∫a f(x) dx
Donc: ∀ a ∈I, b∫a f(x) dx = -a∫b f(x) dx
Linéarité de l'intégrale
a,b: 2 réels ∈ I
f,g: 2 fonctions continu sur I
Multiplication:
∀ k ∈ R: a∫b k ✕ f(x) dx = k ✕ a∫b
Somme:
a∫b (f+g)(x) dx = a∫bf(x) dx + a∫b g(x) dx
Intégrale et ordre
f: une fonction continue sur l'intervalle I
Fonction de signe constant
Si: f est positive et a≤b alors:
La somme a∫bf(x) dx vaut l'aire sous la courbe pour x ∈ [a,b]
Donc a et b appartiennent à I
Si a≤b et ∀ x ∈ I, f(x) ≥0 alors:
a∫b ≥0
Si: f est négative sur I alors: -f est positive sur I
Donc: a∫b -f(x) dx ≥0
Or, comme on a vue que a∫b -f(x) dx = -a∫b f(x) dx
On a donc, si f est négative sur I: -a∫b f(x) dx ≥0
➥ Et a∫b f(x) dx ≤0
Soit: a et b, deux réels appartenant à I tels que a≤b
Si: ∀ x ∈ I , f(x) ≤0 alors:
a∫b f(x) dx ≤0
ET
b∫a f(x) dx ≥0
➨On doit faire attention à l'ordre de a et de b dans l'intégrale
Conservation de l'ordre, intégration des inégalités
Soit f et g, deux fonctions continues sur I
Soit a et b, des réels appartenant à I et tels que a≤b
Si: ∀ x ∈ I, f(x) ≤ g(x) alors: a∫b f(x) dx ≤ a∫b g(x) dx
Intégration des aires
1er cas: f est positive sur [a,b]
I = a∫b f(x) dx représente alors l'aire sous la courbe du domaine D [a,b]
On a donc: a≤x≤b et 0≤y≤f(x)
2ème cas: f est négative sur [a,b]
L'aire sous la courbe vaut alors: A = -a∫b f(x) dx
➥Pour le domaine D [a;b]
3ème cas; f(x) change de signe sur [a;b]
f(x), la courbe qui change de signe au points x1 et x2
a∫b f(x) dx = a∫x1 f(x) dx + a∫x2 f(x) dx +a∫b f(x) dx
➥ A = A1+A2+A3
Valeur moyenne d'une fonction
f: une fonction continue sur un intervalle I
a∈ I, b ∈ I et a<b
La valeur moyenne de f sur [a;b] est:
µ = $1/(b-a)$ ✕ a∫b f(x) dx
REMARQUE: On a donc:, a∫b f(x) dx µ ✕ (b-a)
Quand f est positive sur [a;b], alors:
µ et b-a sont les cotés du rectangle dont l'aire vaut a∫b f(x) dx
Intégration par parties
u et v: deux fonctions dérivables dont les dérivées sont continues
a et b appartiennent à I
On sait que: (uv)' = u' ✕ v+v' ✕ u donc u ✕ v' = (uv)'-u' ✕ v
Si on trouve la forme: a∫bu ✕ v' dx, alors on a l'égalité suivante:
a∫b u ✕ v' dx = [u ✕ v]ba - a∫b u' ✕ v dx
➥v est la primitive de v'
Ce qui fait que: a∫b u ✕ v' dx = a∫b (u ✕ v)' dx - a∫b u' ✕ v dx
On utilise cette méthode quand la méthode classique ne permet pas de calculer simplement l'intégrale
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