Fonctions trigonométriques|cours de maths terminale

Rappels: sinus et cosinus d'un nombre réel

1 tour = 360° = 2 π radian

On a donc: x degrés = x ✕ ($π/180$) radian

Pour la mesure d'une corde d'un cercle, on utilise le rayon et l'angle en radian

➥ corde = R*AOB

Avec AOB, l'angle décrit par la corde, en degrés

Angles orientés

On parle d'angle orientés car ils sont créé par des vecteurs, ils ont un sens

Le sens positif est le sens inverse des aiguilles d'une montre

➥Le e=sens positif est aussi appelé sens direct ou sens trigonométrique

Le sens négatif est le sens des aiguilles d'une montre

-On utilise le sens de rotation suivant, pour placer des angles sur le cercle trigonométrique:

(OA;OB)+$π/4$ ou OA;OB - $π/4$

Sinus et cosinus d'un réel quelconque

On positionne un cercle trigonométrique de centre "o" et de rayon 1 dans un repère orthonormé (o,i,j)

On notera ce cercle C

α: un réel quelconque

M: un point sur le cercle trigonométrique tels que (i,OM) = α

Les coordonnés du point M sont donc: M(cos α; sin α)

➥ cos α = coordonnée x du point M et sin α = coordonnée y du point M

Les fonctions sinus et cosinus

sinus: une fonction de R appartenant à [-1;1]

➥Définie pour tout x de R

cosinus: une fonction de R appartenant à [-1;1]

➥Définie pour tout x de R

Ceci est due au fait que l'on "enroule tous les réels" autour d'un cercle de rayon 1

Propriétés

Soit D: un ensemble de réel tels que ∀x ∈D, -x ∈D

f est une fonction définie sur D

f est paire si ∀x ∈D, f(-x) = f(x)

f est impair si ∀x ∈D, f(-x) = -f(x)

Parité

La fonction cosinus est paire

➥ ∀x∈R, cos (-x) = cos x

La fonction sinus est impaire

➥∀x∈R, sin (-x) = -sin x

Périodicité

-Soit f: une fonction définie sur R

T ∈ R*

T est une période f si:

∀x∈R, f(a+T) = f(x)

On remarque donc que les fonctions cosinus et sinus sont périodique, leur période est de 2π

Car pour tout x de R:

cos(x+2π) = cos(x) et sin(x+2π) = sin x

Dérivée

Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur R, pour tout x de R:

cos'(x) = -sin (x)

➥quand x tend vers 0, lim $(cos (x)-1)/x = sin(0) = 0$

sin'(x) = cos (x)

➥quand x tend vers 0, lim $(sin (x)-sin(0))/x = \text"lim " {sin (x)}/x = cos (0) = 1$

Cf cours sur les limites (quand x tend vers 0, sin(x) est équivalent à x)

Formules trigonométriques

Valeurs remarquables

cos(0)=1

sin(0)=0

$cos(π/2)=0$

$sin(π/2)=1$

$cos(π/3) = 1/2$

$sin(π/3) = √3/2$

$cos(π/6) = √3/2$

$sin(π/6) = 1/2$

$cos(π/4) = √2/2$

$sin(π/4) = √2/2$

Relation fondamental

Pour Tout de R: cos²sin²x = 1

Déphasage de ${kπ}/2$, k un entier relatifs (=angle associés)

Pour Tout x de R:

$cos (x+π/2)$ = -sin (x)

$sin (x+π/2)$ = cos (x)

➥ On se décale d'un demi-tour sur le cercle trigonométrique

D'où les valeurs remarquables:

$cos (x+π/2)$ = -sin(x)

cos (x+π) = -cos (x)

$cos (x+3π/2)$ = sin(x)

cos (x+2π) = cos (x)

$sin (x+π/2)$ = cos(x)

sin (x+π) = -sin (x)

$sin (x+3π/2)$ = -cos x

sin (x+2π) = sin (x)

Formules d'addition et de duplication

Pour tout x de R

cos(a+b) = cos(a) ✕ cos(b) - sin(a) ✕ sin(b)

cos(a-b) = cos(a) ✕ cos(b) + sin(a) ✕ sin(b)

sin(a+b) = sin(a) ✕ cos(b) + sin(b) ✕ cos(a)

sin(a-b) = sin(a) ✕ cos(b) - sin(b) ✕ cos(a)

On a donc:

sin (2a) = 2sin(a) ✕ cos(a)

cos(2a) = 1- sin (2a) = 2cos²(a) -1 = cos²a-sin²a

Résolution d'équations avec sinus et cosinus

Équations avec l'inconnue x, et a ∈ R

cos (x) = cos (a)

Donc x = a+2kπ ou x = -a+2kπ

sin (x) = sin(a)

Donc x = a+2kπ ou x = π-a +2kπ

REMARQUE: le nombrede solutions de l'équation dépend de l'intervalle que l'on prend (ici: R, donc on ajoute 2kπ car on a une infinité de solutions)

L'intervalle indique le "nombre de tours" et le "sens de rotation"

Dérivée de composé

Si u est une fonction dérivable sur R, alors cos u et sin u est dérivable sur R

(cos u)' = -u' ✕ sin(u)

(sin u)' = u' ✕ cos(u)

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