Dénombrement et variable aléatoire

Dénombrement

Nombre de permutation sur un ensemble fini

Définition 1: E est un ensemble.

-Une permutation de E est une bijection de E dans lui même

Définition 2: E est un ensemble tel que card E = n (E non nul)

Une permutation de E est un n-uplet formé avec tous les élémentsde E

Ex: pour 4 éléments donne un quadruplet

Définition 3: Pour tout n ∈ N\{0}, on note n! et on appelle "factorielle n" le nombre:

(1 ✕ 2 ✕ 3 ✕ ... ✕ n-1 ✕ n ) ou $∏↙{k = 1}↖n k$

Remarque: 0! = 1

Propriété de la permutation:

Le nombre de permutation d'un ensemble à n éléments est: n!

Arrangements

Définiton d'un arrangement

E est un ensemble tel que card E différent de 0

(n∈N^*)

p est un entier tel que: 1≤p≤n

Un arrangement de p éléments de E est p-uplet (ou suite à p évènement) de p éléments différent d E

Un arrangement est donc une permutation dans un ensemble où l'ordre des éléments est pris en compte

Exemple: E {a,b,c,dne,f}

(d,ane) est un arrangement à 3 éléments de E

(e,d,a) est autre un arrangement à 3 éléments de E

Propriété des arrangements

Avec 1≤p≤n

Le nombre d'arrangements à p éléments dans un ensemble de n éléments vaut:

$ A_n ^p = {n!}/{(n-p)!}$

Combinaisons

Définition d'une combinaison

E est un ensemble tel que card E = n et n est non nul

p est un entier tel que: 0≤ p≤ n

Une combinaison à p éléments de E est un sous ensemble à p éléments de E

Une combinaison est donc une permutation dans un ensemble où l'ordre des évènements n'est pas pris en compte

Exemple:

E = {a,b,c,dne}

(a,dne) est une combinaison à 3 éléments de E

(e,a,d) est la même combinaison à 3 éléments de E

Propriété des combinaisons

Le nombre de combinaison de p éléments dans un ensemble E vaut:

$ (\table n ;p) = {n!}/{(n-p)!}$

REMARQUE:

$ (\table0;n)$ = ${n!}/{0! \; ✕ \; (n-0)!} = {n!}/{n!}$ = 1

$ (\table n;n) = 1$

Propriété des nombres $ (\table n;p)$

$ (\table n; n-p) = (\table n;p)$

$ (\table n-1;p-1)+ (\table n-1;p) =(\table n ;p)$

Triangle de Pascal

Remarque: on utilise $ (\table n ;p)$

➥ Case 0;0 = $(\table 0;0)$

REMARQUE: dans une case on a la somme de deux colonnes de la ligne du dessus

Une utilisation: développement du binôme

(a+b)⁰ = 1

(a+b)² = a²+2ab+b²

(a+b)³ = a³+ 3a²b+3ab²+b³

(a+b)⁴ = a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴

...

Les coefficients du développement sont les cases de la ligne de l'exposant dans triangle de pascal

Formule générale: (a+b)ⁿ =$ ∑↙{k=0}↖n (\table k ;n ) a^{n-k} \; b^k $

Variable aléatoire

Définition d'une variable aléatoire

On considère un univers fini Ω

Une variable aléatoire X sur Ω est une fonction qui a tout éléments de Ω associe un nombre réel

Exemple:

Ω: {vert;bleu;rouge}

Tirer une boule bleu rapporte +1, une verte -10 et une rouge +2

➥ X(bleu) = 1; X(vert) = -10; X (rouge) = 2

Loi de Probabilité

On note la loi de probabilité: p(X = a)

La loi de probabilité est la probabilité que la variable X prenne la valeur a

Si on avait 1 boule verte, 2 bleues et 4 rouges on aurais:

$p(X = -10) = 1/7 \; ; \; p(X = 1) = 2/7$ et $p(X = 2) = 4/7$

Espérence mathématique

X: une variable aléatoire sur un univers finie ω

X prend les valeurs de l'ensemble E {x₁x₂...x_n} = {x_i}

➥ 1≤ i ≤ n

On note l'espérance de X : E(X) ou $\ov{X}$

L'espérance vaut:

$ E(X) =\ov{X} = ∑↙{k=1}↖n x_k \; ✕ \; p(X=k)$

REMARQUE: l'espérance de X est la valeur de la moyenne des gains pour un très grand nombre d'expérience

Variance et écart-type

On note la variance : V(X)

La variance vaut:

$V(X) = ∑↙{k=1}↖n p(X=k) \; ✕ \; (x_k -\ov{X})^2$

On note l'écart type: σ (X)

L'écart-type vaut: σ (X) = √(V(X))

Propriétés

a∈ R et b∈R

X: une variable aléatoire

E(aX+b) = a(X)+b

V(aX+b) = a² ✕ V(X)

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