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Cours et code réalisé par Vincent Maffet

I Suite de matrices colonnes de la forme Un+1=AUn+B

1) Suite de matrices colonnes de la forme Un+1=AUn+B

Propriété 1:

Soit une suite de matrices colonnes (Un) à m lignes et A une matrice carrée d'ordre m, m entier, m≥2 telles que Un+1=AUn

Alors pour tout n ∈ N, Un=AnU0

Démonstration :

Soit la proposition Pn: "Un=AnU0"

- Initialisation : A0=Im, A0U0=U0

- Hérédité : On considère que pour un entier naturel n, Un=AnU0

Un+1=AUn=A*AnU0=An+1U0

- Conclusion : Pour tout n ∈ N Un=AnU0

Propriété 2 :

Soit une suite de matrices colonnes (Un) à m lignes vérifiant pour tout entier naturel n Un+1=AUn+B où A est une matrice carrée non nulle d'ordre m et B une matrice colonne à m lignes.

S'il existe une matrice C telle que C=AC+B alors le terme général de la suite (Un) peut s'écrire Un=An(U0-C)+C

Démonstration :

Un+1=AUn+B et C=AC+B

D'où Un+1-C=AUn-AC=A(Un-C)

On pose Vn=Un-C et on obtient Vn+1=AVn

D'après la propriété 1, Vn=AnV0 et Un=AnV0+C

D'où Un=An(U0-C)+C

Remarque :

C=AC+B ⇔ C-AC=B ⇔ (Im-A)C=B

Si Im-A est inversible, alors C=(Im-A)-1B

2) Convergence des suites vérifiant Un+1=AUn+B

a) Définition :

Une suite de matrices (Un) toutes de même format, converge vers une matrice L lorsque les coefficients de Un convergent vers les coefficients de L.

b) Convergence des suites vérifiant Un+1=AUn+B

Propriété :

Soit une suite de matrices colonnes vérifiant Un+1=AUn+B

On suppose qu'il existe une matrice C telle que C=AC+B

Si U0=C, la suite converge vers C

Si U0≠C, et si la suite (An) converge alors la suite (Un) converge

Démonstration :

Si U0=C, alors pour tout n ∈ N, Un=C

Sinon Un=An(U0-C)+C et la suite (An) converge vers une matrice A'

Donc la suite (Un) converge vers A'(U0-C)+C

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