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Calcul matriciel |cours de spé maths terminale

Cours et code réalisé par Vincent Maffet

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I Opération sur les matrices

1) Addition et multiplication par un réel

Additionde matrices: Définition:

Si A = (aij) et B = (bij) deux matrice de même taille (m*n) alors leur somme A+B ets définie par:

A+B = (cij) où cij = aij + bij

-> On additionne les termes des matrices ayant la même position i,j pour former la matrice du résultat

-> On peut donc additionner les matrices que si elles sont de même taille

Mulitplication par un réel, définition:

Soit une matrice A= (aij) de taille m*n et λ un réel

la matrice λA est la matrice (bij) tels que bij = λaij

->Quand on multiplie une matrice par un réel, On multiplie tous les termes de cette matrice par ce nomre réel

REMARQUE:

Les règles de priorités des additions et mulitplications sont les même qu'avec des réels

2) Multiplication d'une matrice ligne par une matrice colonne

Multiplication d'une matrice ligne par une matrice colonne

3) Multiplication de deux matrices

Définition

Soit n un entier naturel non nul.

Soit A = (a1,j) une matrice ligne de n termes et B = (bi,1) une matrice colonne de n termes

Alors A*B est un nombre et A*B = i = 1Σn(a1,i*bi,1)

-> On ne peut multiplier des matrices colonnes que par des matrices lignes (ou des réels, cf plus haut)

-> les 2 matrices doivent avoir le même nombre de terme

4) Puissances d'une matrice

a) Matrice diagonale

Définition :

- Une matrice diagonale est une matrice carrée dont tous les coefficients qui ne sont pas situés sur sa diagonale principale sont nuls.

- Une matrice diagonale d'ordre n dont tous les coefficients diagonaux sont égaux à 1 est appelée matrice unité. Elle est notée In.

b) Puissances d'une matrice

Définition :

A désignant une matrice carrée, on définit A2 par A2 = A*A et tout entier naturel p, Ap = A*A*...*A } p fois

Propriété :

Soit D une matrice diagonale, pour tout n ∈ N, Dn est une matrice diagonale obtenue en élevant à la puissance n les coefficients de D

5) Matrice inversibles et application aux systèmes linéaires

a) Matrice inversible

Propriété-définition :

Soit A une matrice carrée d'ordre n, n ∈ N*, on dit que A est inversible lorsqu'il existe une matrice carrée d'ordre n : B telle que AB=BA=In

La matrice B est alors unique et appelée matrice inverse de A. On note A-1.

Propriété admise :

Pour montrer que la matrice A carrée d'ordre n est inversible, de matrice inverse B, il suffit de montrer que AB=In ou BA=In

Propriété-définition :

Soit A une matrice carrée d'ordre 2,

Matrice A

La matrice A est inversible si et seulement si ad-bc≠0

Le réel ad-bc est appelé déterminant de la matrice A

Si ad-bc≠0 alors :

Matrice inverse

Démonstration :

Soit

Démonstration matrice inverse

Si ad-bc≠0 alors A*[1/(ad-bc)]*B=I2 donc A est inversible

et Matrice inverse

Si ad-bc=0 alors A*B=O2 et A n'est pas inversible

En effet si A était inversible, d'inverse C, on aurait CAB=CO2=0 et CAB=(CA)B=B=0 car CA=I2 ce qui n'est pas le cas.

b) Application aux systèmes linéaires

Propriété :

Un système linéaire à n équations et n inconnues x1, x2 ... xn

système à n équations et n inconnues

peut s'écrire sous la forme matricielle AX=Y où A=(aij) est une matrice carré d'ordre n, X=(xi) et Y=(yi) sont des matrices colonnes de taille n*1

Si A est inversible, le système admet une solution unique donnée par X=A-1Y

Démonstration :

Si A est inversible,

Si AX=Y alors (A-1A)X=A-1Y et X=A-1Y

A-1Y est l'unique solution du système qui s'écrit sous forme matricielle AX=Y

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