Le Théorème de Gauss |terminale

Cours et code réalisé par Vincent Maffet

I Théorème de Gauss

1) Théorème

Théorème :

Soit 3 entiers relatifs a, b et c non nuls

Si a divise bc et si a et c sont premiers entre eux, alors a divise b

Démonstration (R.O.C)

a et c sont premiers entre eux, donc d'après le théorème de Bezout, il existe des entiers relatifs u et v tels que au+cv=1 ⇔ aub+cvb=b ⇔ aub+(cb)v=b

a divise a et le produit bc donc a divise aub+(bc)v=b

2) Conséquences du théorème de Gauss

Propriété 1 :

Soit 3 entiers relatifs non nuls a, b et c. Si b et c sont premiers entre eux et divisent a, alors le produit bc divise a

Démonstration :

b divise a donc il existe un entier relatif k tel que a=kb et c divise a donc il existe un entier relatif k' tel que a=k'c. D'où kb=k'c

c divise kb, or b et c sont premiers entre eux, donc d'après le théorème de Gauss, c divise k. Alors il existe un entier relatif q tel que k=cq

Alors a=kb=bcq avec q∈Z, d'où bc divise a.

Propriété 2 :

Soit a et b 2 entiers relatifs non nuls et p un entier naturel. Si p est un nombre premier, et p divise le produit bc, alors p divise a ou p divise b

Démonstration :

- Soit p divise a et la propriété est établie

- Soit p ne divise pas a et PGCD(a;p)=1 (Les diviseurs de p sont 1 et p), p est premier avec a et divise ab, donc d'après le théorème de Gauss, p divise b

Propriété 3 :

Soit a, b et c 3 entiers relatifs non nuls. a est premier avec b et c si et seulement si a est premier à leur produit bc

Démonstration :

- Si a est premier avec b et c alors PGCD(a;bc)=PGCD(a;c)=1. Ainsi a est premier avec bc

- Si a est premier avec bc alors PGCD(a;bc)=1 or b divise bc donc PGCD(a;b) divise PGCD(a;bc). Donc PGCD(a;b)=1 car PGCD(a;b)>0. De même, c divise bc donc PGCD(a;c) divise PGCD(a;bc). Donc PGCD(a;c)=1 car PGCD(a;c)>0

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