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Divisibilité et congruences dans Z |cours de spé maths terminale

Cours et code réalisé par Vincent Maffet

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I Division Euclidienne

1) Division Euclidienne dans N

Propriété :

Soit 2 entiers naturels a et b, b étant non nul

Il existe un couple unique (q;r) d'entiers naturels tels que a = bq + r avec 0 ≤ r < b

Démonstration :

- Existence du couple

Si a est un multiple de b alors il existe un entier n naturel tel que a = bq

Si a n'est pas un multiple de b alors il existe des multiples de b qui soient > a et d'autres < a

Ainsi, bq < a < b(q+1) où b'q+1) et le plus petit multiple de b supérieur à a

Dans les deux cas 0 ≤ a-bq < b et on pose r = a-bq

alors a = bq+r avec 0 ≤ r < b

- Unicité du couple

Supposons qu'il existe 2 couples d'entier naturels (q;r) et (qu';r') tels que a = bq+r = bqu'+r' avec r et r' tels que 0 ≤ r < b et ≤ r' < b

De l'égalité bg+r = bqu'+r', on déduit que b(q-qu') = r'-r

De plus 0 ≤ r < b et 0 ≤ r' < b, d'où -b < r'-r < b

D'où r'-r est un multiple de b compris strictement entre -b et b

Alors r'-r = 0 et r' = r. Alors q = qu' car b ≠ 0

Définition de la division euclidienne:

Effectuer la division euclidienne de l'entier naturel a par l'entier naturel b ≠ 0, c'est trouver le couple (q;r) d'entiers naturels tels que a = bq+r avec 0 ≤ r < b

On dit que a est le dividende, b est le diviseur, q est le quotient et r le reste.

2) Division Euclidienne dans Z

Propriétés :

Soit a et b deux entiers relatifs avec b ≠ 0

Il existe un couple unique (q;r) d'entiers relatifs tels que a = bq+r avec 0 ≤ r < |b|

Remarques importantes :

- Dans la division euclidienne de a part b, il n'y a que |b| restes possibles : 0;1;2;...;|b|-1

Donc a peut s'écrire de l'une des façons suivantes: bk; bk+1;...; bk+|b|-1 avec k ∈ Z

- b divise a ⇔ le reste de la division de a par par b est nul

Programme division euclidienne

Voici un programme pour obtenir le reste et le quotient facilement.

Saisir A et B

Q prend la valeur int(A⁄B), et R prend la valeur A-B*Q

Si R < 0

alors Q prend la valeur Q+1 et R prend la valeur A-B*Q

Sinon fin Si

Afficher Q et R

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