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Calcul Matriciel |cours de spé maths terminale

Cours et code réalisé par Vincent Maffet

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I Notion de matrices et vocabulaire

1) Définition d'une matrice

m et n: 2 entiers non nuls

Définition d'une matrice:

une matrice est un tableau rectangulaire avec m lignes et n colonnes

➥La taille (format/dimmension) d'une matrice est : m ✕ n

Exemple:

M = $(\table 1 , -1 , 7 ; 0 , 9 , 4.3)$

➥Matrice ayant 3 colonnes et 2 lignes donc sa taille est: 2 ✕ 3

Définition d'une matrice carré & matrice colonne

Définition d'une matrice ligne:

Matrice qui n'est formé que d'une seul ligne

Exemple: $(\table 1 , 2, 5 , -7, -1.2)$ Matrice ligne avec 6 colonnes (Matrice (1,6))

Définition d'une matrice colonne:

Matrice qui n'est formée que d'une seul colonne

Exemple: $(\table 1 ; 2 ; 5 ; -7 ; -1.2)$ Matrice colonne avec 6 lignes (Matrice (6,1))

Définiton d'une matrice carré:

Matrice qui est formée de n lignes et n colonnes

➥nombre de ligne = nombre de colonne (elle forme donc un carré)

Exemple: $(\table 5, 1 , 4 , -4 ; 1 , 2 , 7 , 6 ; -4 , -4 , 1.2 , 6.3 ; 1, 0.2 , 1 , 5.2)$ Matrice carré avec 6 lignes et 6 colonnes (Matrice (6,6))

2) Ecriture générale d'une matrice

La matrice A de taille m ✕ n s'écrit :

A = $(\table a_{1,1} , a_{1,2} , ... , a_{1,n} ; ... , ... , ... , ... ; a_{m-1,1} , a_{m-1,2} , ... , a_{m-1,n} ; a_{m,1} , a_{m,2} , ... , a_{m,n})$

Les nombres aij (Avec 1 ≤ i ≤ m et 1 ≤ j ≤ n) sont les coefficients de la matrice

Le coefficient aij est le nombre placé à la iième ligne et la jième colonne

$(\table a_{1,1} , ... , a_{1,n} ; ⋮ , ... , ⋮ ; ⋮ , a_{i,j} , ⋮ ; ⋮ , ... , ⋮ ; a_{n,1} , ... , a_{n,n})$

Egalité de deux matrices

Deux matrices sont égales si et seulement si elles ont la même taille et les mêmes coefficients à la même place

La matrice identité (ou unité)

La matrice identité (ou unité ) est une matrice diagonale dont tous les coefficients sont égales à 1

➥ Les coefficients qui ne sont pas sur la diagonales sont nuls

La matrice unité d'ordre n est une matrice carré de taille n notée In ne contenant que des 1 sur la diagonale et des 0 ailleurs

Exemple: I2 = $(\table 1 , 0 ; 0 , 1)$

I3 = $(\table 1 , 0 , 0 ; 0 , 1 , 0 ; 0 , 0 , 1)$

Définition de la matrice nulle

la matrice nulle d'ordre n ( notée On) est la matrice carrée d'ordre n dont tous les coefficients sonts nuls

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