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Nombres premiers |cours de spé maths terminale

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Cours et code réalisé par Vincent Maffet

I Décomposition en produit de facteurs premiers

1) Existence d'une décomposition

Théorème fondamental de l'arithmétique :

Tout entier naturel n≥2 est premier ou produit de nombres premiers

Démonstration :

n≥2 donc que n soit premier ou non, il admet un diviseur premier p1 tel que n=p1n1 avec 1≤n1<n

- Si n1=1 alors n=p1 et n est un nombre premier

- Si n1≥2 alors que n1 soit premier ou non, il admet un diviseur premier p2 tel que n1=p2n2 avec 1≤n2<n1

- Si n2=1 alors n est le produit de 2 nombres premiers n=p1p2

- Si n2≥2 alors que n2 soit premier ou non, il admet un diviseur premier p3 tel que n2=p3n3 avec 1≤n3<n2 et n=p1p2p3n3

De proche en proche, on obtient une suite décroissante d'entiers naturels n tel que 1≤...<ni<...<n2<n1<n

Cette suite est finie et le dernier d'entre eux est nécessairement égal à 1, donc n=p1p2p3...pk avec p1,p2,...pk premiers.

On obtient la décomposition en facteurs premiers de n en regroupant les mêmes nombres premiers : n=p1α1*p2α2*...*prαr

Où p1, p2,...pr sont des nombres premiers distincts et α1, α2,...αr sont des entiers naturels

2) Unicité de la décomposition

Théorème :

La décomposition en produit de facteurs premiers de tout entier naturel n supérieur où égal à 2 est unique.

3) Application à la recherche de diviseurs

Théorème :

Soit n ∈ N, n≥2, n se décomposant en produit de facteurs premiers sous la forme n=p1α1*p2α2*...*prαr

Alors les diviseurs positifs de n sont les entiers de la forme p1β1*p2β2*...*prβr avec 0≤βi≤αi pour tout i tel que 1≤i≤r

Remarque importante :

Soit n≥2, ayant pour décomposition en facteurs premiers p1α1*p2α2*...*prαr, alors n a (α1+1)*(α2+1)*...*(αr+1) diviseurs positifs

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