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Divisibilité et congruences dans Z |cours de spé maths terminale

Cours et code réalisé par Vincent Maffet

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I Congruences dans Z

1) Propriété fondamentale

Propriété :

Soit a et b deux entiers relatifs et n un entier naturel avec n≥2

a et b ont même reste dans la division euclidienne par n si et seulement si a-b est un multiple de n

Démonstration :

a=nq+r avec 0≤r<n et b=nqu'+r' avec 0≤r'<n

-Si r=r' alors a-b=nq+r-(nqu'+r)=n(q-qu') et q-qu'∈Z donc a-b est un multiple de n

-Si a-b est un multiple de n alors a-b=kn avec k∈Z

Alors a=b+kn avec k∈Z

Or b=nqu'+r' avec 0≤r'<n

D'où a=nqu'+r'+kn avec 0≤r'<n

Soit a=n(qu'+k)+r'

D'où r' est le reste de la division euclidienne de a par n donc r'=r

2) Congruences

a) Définition :

Soit a et b deux entiers relatifs et n un entier naturel, n≥2

Dire que a et b sont congrus modulo n signifie que a et b ont même reste dans la division euclidienne par n ou que a-b est un multiple de n

On note a≡b[n] ou a≡b(n) ou a≡(mod n)

Exemples :

11≡5[3]

En effet 11=3x3+2 et 5=3x1+2

car 11-5=6, et 6 est un multiple de 3

b) Propriétés

Soit a, b, c et d des entiers relatifs et n un entier naturel, n≥2

1 - a≡b[n] ⇔ b≡a[n]

2 - a≡b[n] et c≡d[n] alors a+c≡b+d[n]

3 - a≡b[n] et b≡c[n] alors a≡c[n]

4 - a≡b[n] et c≡d[n] alors ac≡bd[n]

5 - Pour tout entier naturel p, si a≡b[n] alors ap≡bp[n]

Démonstrations :
Propriété 2 (Exigible):

a≡b[n] et c≡d[n] ⇔ il existe deux entiers k et k' tels que a=b+kn et c=d+k'n

Alors a+c=b+d+n(k+k') avec k+k'∈Z

Donc a+c≡b+d[n]

Propriété 4 :

ac=(b+kn)(d+k'n)=bd+knd+k'nb+kk'n2

ac=bd+n(kd+k'b+kk'n) avec kd+k'b+kk'n∈Z

Donc ac≡bd[n]

Remarques :

- Pour tout n≥2, a≡a[n]

- a est un multiple de n ⇔ a≡0[n]

- Si r est le reste de la division euclidienne de a par n alors a≡r[n] (La réciproque n'est vraie que si 0≤r<n)

- Les nombres congrus à b modulo n sont les entiers de la forme a=b+kn avec k∈Z

- Les nombres impairs de la forme 1+2k avec k∈Z sont les nombres congrus à 1 modulo 2

Exemple

déterminer les entiers relatifs n tels que 2n≡7[3]

2n≡7[3] ⇔ 2n≡1[3]

n≡...[3] 0 1 2
2n≡...[3] 0 2 1

2n≡1[3] ⇔ n≡2[3]

Les entiers relatifs cherchés sont les entiers de la forme 3k+2 avec k∈Z

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