Les torseurs en génie mécanique première

Définition d'un torseur

-Un torseur est un outilmathématique que l'on utilise en génie mécanique

-Il sert à décrire précisément les mouvements d'un solide qui subit des actions mécaniques extérieurs

➥Le torseur permet d'exprimer tout les efforts transmis par la liaison et l'action mécanique qui s'y applique

➨Le torseur complète et change seulement le théorème des moments résultants

REMARQUE: on a un torseur par action mécanique, un moment par action mécanique, même si 2 actions mécaniques s'appliquent au même point

Le torseur n'est qu'une forme d'écriture, a gauche: résultante & à droite: moment

➥ On l'utilise car elle est plus compacte, mais cela ne change rien aux théorèmes de la résutantes et aux théorème des moments

Il y a 1 torseur par point et pour la pluspart des torseurs, leur écriture dépend de ce moint (le moment dépend du point où il est écrit)

Efforts transmissibles dans les liaisons

Le rôle du torseur

-Le torseur décrit en plus le moment à l'intérieur des liaisons

➥ Dans le torseur, on représente la résultante de l'action mécanique et le moment de la liaison en un point d'une liaison

➨La résultante R correspond au vecteur de l'action mécanique

➨Le moment M correspond au moment à l'intérieur de la liaison

-REMARQUE: ces moments sont lié à l'action mécanique, on a donc des moments différent pour une même liaison, si elle subie plusieurs actions mécaniques

➥On aura autant de torseur et de composantes différentes que de action mécanique qui s'appliquent sur la liaison

-Le torseur permet de faire figurer toutes les composantes des efforts que transmet une liaison

Représentation d'un torseur

On représente un torseur sous cette forme:

Ici, on a le torseur d'une action mécanique en un point B, dans un repère R (on peut noter le repère "xzy" ect...)

La résultante

Les valeurs X,Y,Z, représentent les composantes du vecteur de l'action mécanique qui s'exerce sur la liaison

-Ces valeurs représentent les degrés de mobilités bloqués en translation

➥Les composantes X,Y,Z sont les valeurs de l'action mécanique qui s'oppose à une rotation sur x,y,z

➥on peut utiliser le théorème de la résultante pour la calculer

REMARQUE: on n'utilise pas ces valeurs dans les moments des liaisons

Le moment de la liaison

-La seul nouveauté est le moment de la liaison

-Ces composantes sont L,M,N (qui correspondent aux X,Y,Z du moment)

-Ces composantes sont celle de l'action mécanique qui bloque des degrés de rotation de la liaison

➨Ces valeurs représentent les degrés de mobilité bloqués en rotation

➥Les composantes L,M,N sont les valeur de l'action mécanique qui s'oppose à une rotation sur l'axe x,y,z

-On ajoutera ces composantes dans le théorème des moments résultants

Les efforts transmissibles

-Les composantes L,M,N existent si un degrés de mobilité de la liaison est bloqué

➥La liaison exerce donc une action mécanique pour bloquer ce degré de rotation

Exemple

-Pour une liaison avec ces degrés de rotation

On a un torseur comme ceci

On a donc, sur un axe:

➨S'il y a un degré de liberté en translation, la résultante est nul

➨S'il y a un degré de liberté en rotation, le moment est nul

-On peut donc prédéfinir des valeurs de X,Y,Z ou L,M,N avec cette règle

Calcul avec les théorèmes de mécanique

Le théorème de la résultante

Ce théorème, qui sert à calculer les composantes du vecteur de l'action mécanique, ne change pas

➥On a toujours: "somme des composantes des actions mécaniques = 0"

➨Il suffit donc d'utiliser les X,Y,Z de chaque torseur de action mécanique pour calculer ceux manquant

Le plus important sur les torseurs en mécanique

Le calcul du théorème du moment résultant avec les torseurs

-Ce théorème subit une légère modification car on ajoute le moment des liaisons

-La somme des moments est toujours égaleà 0, mais il y a des nouvelles valeurs

On a donc Somme des moments des actions mécaniques en un point + Somme des moments des liaisons = 0

➥On ajoute donc les moments des liaisons (dont les composantes sont L,M,N)

-Les composantes des moments des actions mécaniques se calculent toujours de la même façon

➥Norme du vecteur ✕ distance

➨On calcule la norme avec les composantes de la résultante (√(X²+Y²+Z²))

Les composantes des moments des liaisons sont L,M,N

Exemple: deux actions mécaniques a et b, dont le moment (rotation) se fait sur l'axe z

M(f_a)_a+M(f_b)_a+M_a+M_b = 0

➥M(f_a)_a car distance = 0

On a donc:

/x: 0+0+L_Ma+L_Mb = 0

/y: 0+0+M_Ma+M_Mb = 0

/z: 0+|fb| ✕ d(fb;a)+N_Ma+N_Mb = 0

-Il faut simplement retenir ce nouveau paramètre

Astuces sur les torseurs

-Il suffit de retenir et de comprendre la nouvelle façon de calculer le nouveau théorème des moments

-On peut s'aider des caractéristiques des liaisons (degrés de mobilités des types de liaisons) pour éliminer des composantes du moment

➥Ex: une liaison pivot sur X bloque tout sauf la rotation sur X

➥ on aura X=X,Y=Y,Z=Z et L=0, M=M,N=N

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Pour l'étude tout les types de forces: Caractéristiques des grandeurs Physique

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