La self en régime transitoire

Modèle électrique de l'étude

Le schéma est une maille comportant :

-Un générateur crée une tension Ve

-Une résistance R parcourue par une tension Vr

-Une bobine L parcourue par une tension Vl

La maille est parcourue par un courant i_l

Problématique

On cherche comment évolue i_l lorsque Ve varie en fonction du temps

Initialement: la self est parcourue par un courant i_init

A la date t = 0, le générateur passe instantanément à une valeur différente

Nous cherchons à étudier l'évolution de l'intensité du courant dans la self à partir de cette date

Relations et équations dans la self

Relation entre l'intensité et la tension:

$V_l = L \; ✕ \;{di_l}/{dt} $

➥ ${di_l}/{dt} $: la dérivée de i_l

➥L: la valeur de l'inductance de la self exprimée en Henry

➥i_l: la valeur de l'intensité qui parcoure la bobine (self)

Relation entre ${Ve}/{R}$ et i_l

${Ve}/{R} = i_l + {L}/{R} \; ✕ \; ({di_l}/{dt})$

➥C'est une équation différentielle

La valeur final de i_l (i_fin) lorsque t tend vers l'infinie est ${Ve}/{R}$

Quand on résout cette équation différentielle, on trouve que la self suit une loi de la forme exponentielle

On a donc la forme suivante:

i_l = I_fin+ (I_init-I_fin) ✕ (e$^{-t/τ}$)

➥ τ est une constante de temps pour caractériser & calculer la durée du régime transitoire

Relation entre τ R et L: $τ ={L}/{R} $

Analyse de l'évolution du courant i_l dans la self

L'évolution du courant dans la self est une courbe exponentielle

➥Elle est toujours la même, quelque soi i_init et i_fin

Quand le régime final est atteint, le courant est constant, la tension au borne de la self pure est donc nul

REMARQUE: L'évolution dure toujours le même nombre de fois τ (Un régime transitoire dure environ 5τ

➥ τ, la constante de temps est exprimée en seconde

Calcul d'une date particulière

Formule pour déterminer la date où le courant i_l atteint une certaine valeur I_x

$t_x = ({L}/{R}) \; ✕ \; ln({i_{fin} - i_{init}}/{i_{fin} -i_{x}})$

➥On obtient cette relation en résolvant l'équation différentielle donnée plus haut

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