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Chapitre 5 Suite numérique

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I Définition, exemple, représentation graphique

1) Définition

-On définit la suite Un comme fonction de n, où n est un entier naturel

-Un : terme générale de rang n

REMARQUE U2 est un terme de rang 2, mais c'est le 3ème terme de la suite (U0 , U1, U2)

Un peut être définit de 2 façons:

-Fonction de n: Un = f (n (forme explicite)

REMARQUE: avec la forme explicite, on a juste besoins de "n" pour calculer Un

-Relation de récurrence: Un = f(Un-1) et U0 le premier terme

REMARQUE: avec la relation de récurrence, on a besoins du terme précédent pour calculer Un.

Exemple: Un = 2n+3, donc U1 = 5, U100 = 203

Vn+1 = Vn+2 avec V0 = 1

Donc V1 = 1+2 = 3, V2= 3+2 = 5

2) Représentation graphique

a) Un = f(n)

-On mets les "n" sur l'axe des abscisses et les "Un" sur l'axe des ordonnés

-La fonction équivaut alors à y = f(x) où x est un entier naturel

-On transforme alors Un en y et f(n) en f(x) pour x appartenant aux entiers naturels

->On trace la courbe y = f(x) avec x = n et f(x) = f(n) sous forme d'une suite de points, seulement quand x est un entier naturel

b) Un+1 = f(Un)

Exemple avec U0 = 1 et Un+1 = 2*Un

-On trace la droite f(x) = x

-On trace la droite y = f(n) (ici f(n) = 2*n)

-On place U0 (ici U0->Point (1;0)

-On suit le chemin suivant: Point U0 -> droite f(n) ->droite f(x) = x, un place U1, ->droite f(n) ->droite (x) = x on place U2 ect...

->On se déplace toujours parallèlement à l'axe des abscisses ou à l'axe des ordonnées

REMARQUE: on place les coordonnées de points U1,U2... sur l'axe des x et des y

REMARQUE: On utilise Un+1 = f(Un)

Ex: U1 = f(U0)

REMARQUE: c'est comme si on convertissait Un en coordonnée de point grâce à la droite f(x) = x

représentation graphique d'une fonction U<sub>n+1</sub> = f(U<sub>n</sub>

Légende: rouge: f(x) = x, vert f(x) = 2 * x

II Variation d'une suite

1) Définition

-Un une suite et p un entier

-A partir d'un rang p (= pour n supérieur ou égale à p)

Si: Un+1 > Un alors la suite est croissante

Si: Un+1 < Un alors la suite est décroissante

Si: Un+1 = Un alors la suite est constante

2) Un = f(n)

Soit une suite Un = f(n) et une fonction y = f(x), une fonction monotone définie sur I et f(x) = f(n)

-> Un = f(n) a la même variation que la fonction y = f(x) à partir du premier entier naturel contenus en I

3) Cas générale

Pour étudier la variation d'une suite:

-Étude du signe de Un+1 - Un

Si: Un+1 - Un est positif alors la courbe est croissante

Si: Un+1 - Un est négatif alors la courbe est décroissante

Si: Un+1 - Un est nul alors la courbe est constante

4) Comparaison de Un+1/Un à 1

Si: (Un+1)/(Un) est supérieur à 1 alors la courbe est croissante

Si: (Un+1)/(Un) est inférieur à 1 alors la courbe est décroissante

Si: (Un+1)/(Un) est égale à 1 alors la courbe est constante

REMARQUE: on peut utiliser cette méthode que si Un >0

5) Suite périodique

Un+p = Un

-> Suite périodique de rang p

Cas particulier: les suites alternées

Ex: Un= (-1)n

U0 = 1 ; U1 = -1 ; U2 = 1 ...

Donc U n+2 = (-1)n x (-1) 2 = Un x 1 = Un

- Un= (-1)n est une suite de période 2

REMARQUE: pour une suite périodique, on ne parle pas de variation

III suite géométrique

1) définition

-Une suite géométrique ,de raison "b" avec b un réel non nul

Un+1 = b x U n

2) Forme explicit de Un

Un = U0 x bn

3) Variation de Un

-La variation de Un dépend:

Du signe de U0

De la variation de bn

a) Variation de bn

REMARQUE: si b est négatif, on a une suite alternée (elle change de signe à chaque terme)

-Si 0<b<1

bn est convergente

-Si b = 1

bn est constant

-Si b>1

bn est divergente

b) Variation de Un = b0 x bn

-Si U0>0, Un a le même sens de variation que bn

-Si U0 = 0, Un est stationnaire

-Si U0<0, Un a le sens contraire de variation que bn

4) Propriété

(Un), une suite géométrique de raison b, différent de 0 et de premier terme U0 différent de 0

-Pour tout n et p on a: Un/Up = bn-p

Avec cette formule, on peut trouver Un,Up,b

REMARQUE: Un+1/Un = b

5) Somme des termes d'une suite géométrique

-Somme de U0 à Un: i = n Σi=0 Ui = U1+U2+U3+...Un

-Ui sont les termes d'une suite géométrique de raison b

-Si b = 1

Somme des termes de la suite : (n+1) x U0

-Si b est différent de 0

Somme des termes de U0 à Un: U0 x ((1-bn+1)/(1-b))

-On peut généraliser la formule:

1er terme x ((1-raisonnombre de termes)/(1-raison))

1er terme: terme à partir duquel on commence à les additionner

Nombre de terme: indice d'arrivée (n de d'arrivée) +1

IV Suite arithmétique

1) Définition

Un est une suite arithmétique si on a pour tout n de N Un+1 = Un +a avec a un réel appelé raison

2) Forme explicite de Un

U0 le premier terme de la suite, a la raison

=> Un = U0 + n*a

3) Variation de Un

-Si a<0, alors Un est décroissante

-Si a>0, alors Un est croissante

-Si a=0, alors Un est stationnaire

REMARQUE: une suite arithmétique équivaudrait à une fonction affine car on a: Un = a*n +U0, son sens de variation est donc le même que celui d'une fonction affine

4) Propriété

Un+1-Un = a

Pour tout n est p, 2 entiers, avec n≥p

Un = Up+(n-p)*a

5) Somme des termes d'une suite arithmétique

- U0 le 1er terme d'une suite arithmétique

Somme des termes de U0 à Un: i = n Σi=0 = ((U0+Un)/2)*(n+1)

-On peut généraliser la formule avec:

((1er terme+ dernier terme)/2) * nombre de terme

Premier terme: terme à partir duquel on commence à compter

Dernier terme: terme jusqu'auquel on compte

Nombre de terme: n+1

V Approche de la notion de suite et propriété

Limite: La valeur de Un quand n tend vers l'infinie

-Donc chercher la suite est chercher vers quel nombre tend Un

1) Limite infinie, suite divergente

-Un tend vers plus ou moins l'infinie lorsque n tend vers l'infinie

=> Pour tout A positif, aussi grand que l'on veut, tout Un>A à partir d'un rang p

-On dit alors que la suite est divergente

2) Suites sans limite

Ex: suite alternée: Un(-1)n

U0 = 1, U1 = -1, U2 = 1,...

- La suite ne tend pas vers 1 nombre

-> La suite ne se "stabilise" pas vers un nombre

=>La suite n'as pas de limite

3) Suites convergentes

-La suite converge vers une limite finie "l"

-Si: à partir d'un rang n, tout les Un ∈ ]l-A;l+A[

Avec "A", un nombre finit aussi petit que l'on veut

REMARQUE: Plus A est petit, plus l'intervalle est proche de la suite

=>Un est une suite convergente

4) Limite d'une suite géométrique

Un = U0*bn

-Limite de la suite U quand n tend vers l'infinie

-Si 1>b>-1,limite de bn= 0 donc limite de Un = 0

-Si b>1, limite de bn = ∞ donc limite de Un = +∞ si Un>0 et limite de Un = -∞ si Un<0

-Si b<-1, la suite diverge vers +∞ et -∞ =>Pas de limite

5) Limite d'une suite arithmétique

-Un = U0 + n*a

-Si a>0, limite de Un = +∞

-Si a<0, limite de Un = -∞

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