Chapitre 5 Suite numérique

I Définition, exemple, représentation graphique

1) Définition

-On définit la suite U_n comme fonction de n, où n est un entier naturel

-U_n : terme générale de rang n

REMARQUE U₂ est un terme de rang 2, mais c'est le 3ème terme de la suite (U₀ , U₁, U₂)

U_n peut être définit de 2 façons:

-Fonction de n: U_n = f (n) (forme explicite)

REMARQUE: avec la forme explicite, on a juste besoins de "n" pour calculer U_n

-Relation de récurrence: U_n = f(U_n-1) et U₀ le premier terme

REMARQUE: avec la relation de récurrence, on a besoins du terme précédent pour calculer U_n.

Exemple: U_n = 2n+3, donc U₁ = 5, U₁₀₀ = 203

V_n+1 = V_n+2 avec V₀ = 1

Donc V₁ = 1+2 = 3, V₂= 3+2 = 5

2) Représentation graphique

a) U_n = f(n)

-On mets les "n" sur l'axe des abscisses et les "U_n" sur l'axe des ordonnés

-La fonction équivaut alors à y = f(x) où x est un entier naturel

-On transforme alors U_n en y et f(n) en f(x) pour x appartenant aux entiers naturels

➥On trace la courbe y = f(x) avec x = n et f(x) = f(n) sous forme d'une suite de points, seulement quand x est un entier naturel

b) U_n+1 = f(U_n)

Exemple avec U₀ = 1 et U_n+1 = 2 ✕ U_n

-On trace la droite f(x) = x

-On trace la droite y = f(n) (ici f(n) = 2 ✕ n)

-On place U₀ (ici U₀→Point (1;0))

-On suit le chemin suivant: Point U₀ → droite f(n) → droite f(x) = x, un place U₁, → droite f(n) → droite (x) = x on place U₂ ect...

➥On se déplace toujours parallèlement à l'axe des abscisses ou à l'axe des ordonnées

REMARQUE: on place les coordonnées de points U₁,U₂... sur l'axe des x et des y

REMARQUE: On utilise U_n+1 = f(U_n)

Ex: U₁ = f(U₀)

REMARQUE: c'est comme si on convertissait U_n en coordonnée de point grâce à la droite f(x) = x

Légende: rouge: f(x) = x, vert f(x) = 2 ✕ x

II Variation d'une suite

1) Définition

-U_n une suite et p un entier

-A partir d'un rang p (= pour n supérieur ou égale à p)

Si: U_n+1 > U_n alors la suite est croissante

Si: U_n+1 < U_n alors la suite est décroissante

Si: U_n+1 = U_n alors la suite est constante

2) U_n = f(n)

Soit une suite U_n = f(n) et une fonction y = f(x), une fonction monotone définie sur I et f(x) = f(n)

➥ U_n = f(n) a la même variation que la fonction y = f(x) à partir du premier entier naturel contenus en I

3) Cas générale

Pour étudier la variation d'une suite:

-Étude du signe de U_n+1 - U_n

Si: U_n+1 - U_n est positif alors la courbe est croissante

Si: U_n+1 - U_n est négatif alors la courbe est décroissante

Si: U_n+1 - U_n est nul alors la courbe est constante

4) Comparaison de $U_{n+1}/U_n$ à 1

Si: $U_{n+1}/U_n$ est supérieur à 1 alors la courbe est croissante

Si: $U_{n+1}/U_n$ est inférieur à 1 alors la courbe est décroissante

Si: $U_{n+1}/U_n$ est égale à 1 alors la courbe est constante

REMARQUE: on peut utiliser cette méthode que si U_n > 0

5) Suite périodique

U_n+p = U_n

➥ Suite périodique de rang p

Cas particulier: les suites alternées

Ex: U_n= (-1)ⁿ

U₀ = 1 ; U₁ = -1 ; U₂ = 1 ...

Donc U _n+2 = (-1)ⁿ x (-1) ² = U_n x 1 = U_n

- U_n= (-1)ⁿ est une suite de période 2

REMARQUE: pour une suite périodique, on ne parle pas de variation

III suite géométrique

1) définition

-Une suite géométrique ,de raison "b" avec b un réel non nul

U_n+1 = b x U _n

2) Forme explicit de U_n

U_n = U₀ x bⁿ

3) Variation de U_n

-La variation de U_n dépend:

Du signe de U₀

De la variation de bⁿ

a) Variation de bⁿ

REMARQUE: si b est négatif, on a une suite alternée (elle change de signe à chaque terme)

-Si 0<b<1

bⁿ est convergente

-Si b = 1

bⁿ est constant

-Si b>1

bⁿ est divergente

b) Variation de U_n = b₀ x bⁿ

-Si U₀>0, U_n a le même sens de variation que bⁿ

-Si U₀ = 0, U_n est stationnaire

-Si U₀<0, U_n a le sens contraire de variation que bⁿ

4) Propriété

(U_n), une suite géométrique de raison b, différent de 0 et de premier terme U₀ différent de 0

-Pour tout n et p on a: $ {U_n}/{U_p} = b^{n-p}$

Avec cette formule, on peut trouver U_n,U_p,b

REMARQUE: $ {U_{n\; + \;1}}/{U_n} = b$

5) Somme des termes d'une suite géométrique

-Somme de U₀ à U_n:$∑↙{i=0}↖n$ U_i = U₁+U₂+U₃+...U_n

-U_i sont les termes d'une suite géométrique de raison b

-Si b = 1

Somme des termes de la suite : (n+1) x U₀

-Si b est différent de 0

Somme des termes de U₀ à U_n: $ U_0 \; ✕ \; {1-b^{n\; + \;1}}/{1-b}$

-On peut généraliser la formule:

1er terme x $({1-raison^{\text"nombre de termes"}}/(1-raison))$

1er terme: terme à partir duquel on commence à les additionner

Nombre de terme: indice d'arrivée (n de d'arrivée) +1

IV Suite arithmétique

1) Définition

U_n est une suite arithmétique si on a pour tout n de N U_n+1 = U_n +a avec a un réel appelé raison

2) Forme explicite de U_n

U₀ le premier terme de la suite, a la raison

➨ U_n = U₀ + nF ✕ a

3) Variation de U_n

-Si a<0, alors U_n est décroissante

-Si a>0, alors U_n est croissante

-Si a=0, alors U_n est stationnaire

REMARQUE: une suite arithmétique équivaudrait à une fonction affine car on a: U_n = a ✕ n +U₀, son sens de variation est donc le même que celui d'une fonction affine

4) Propriété

U_n+1-U_n = a

Pour tout n est p, 2 entiers, avec n≥p

U_n = U_p+(n-p) ✕ a

5) Somme des termes d'une suite arithmétique

- U₀ le 1er terme d'une suite arithmétique

Somme des termes de U₀ à U_n: $ ∑↙{i=0}↖n U_n = {U_0\; + \;U_n}/{2}\; ✕ \,(n\; + \;1)$

-On peut généraliser la formule avec:

$(\text "1er terme+ dernier terme")/2$ ✕ nombre de terme

Premier terme: terme à partir duquel on commence à compter

Dernier terme: terme jusqu'auquel on compte

Nombre de terme: n+1

V Approche de la notion de suite et propriété

Limite: La valeur de U_n quand n tend vers l'infinie

-Donc chercher la suite est chercher vers quel nombre tend U_n

1) Limite infinie, suite divergente

-U_n tend vers plus ou moins l'infinie lorsque n tend vers l'infinie

➨ Pour tout A positif, aussi grand que l'on veut, tout U_n>A à partir d'un rang p

-On dit alors que la suite est divergente

2) Suites sans limite

Ex: suite alternée: U_n(-1)_n

U₀ = 1, U₁ = -1, U₂ = 1,...

- La suite ne tend pas vers 1 nombre

➥ La suite ne se "stabilise" pas vers un nombre

➨La suite n'as pas de limite

3) Suites convergentes

-La suite converge vers une limite finie "l"

-Si: à partir d'un rang n, tout les U_n ∈ ]l-ε ; l+ε[

Avec "ε", un nombre finit aussi petit que l'on veut

REMARQUE: Plus ε est petit, plus l'intervalle est proche de la suite

➨U_n est une suite convergente

4) Limite d'une suite géométrique

U_n = U₀ ✕ bⁿ

-Limite de la suite U quand n tend vers l'infinie

-Si 1>b>-1,limite de bⁿ= 0 donc limite de U_n = 0

-Si b>1, limite de bⁿ = ∞ donc limite de U_n = +∞ si U_n>0 et limite de U_n = -∞ si U_n<0

-Si b<-1, la suite diverge vers +∞ et -∞ ⇒ Pas de limite

5) Limite d'une suite arithmétique

-U_n = U₀ + n ✕ a

-Si a>0, limite de U_n = +∞

-Si a<0, limite de U_n = -∞

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