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Chapitre 3 Vecteurs: géométrie analytique, équation cartésienne de droite

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Un vecteur est défini par une direction, un sens et une norme, il est la représentation des forces en Physique/SI

Rappels

Soit 2 vecteurs quelconques u et v

a)Somme

-Somme v+u = w On mets les vecteurs u et v bout à bout et on trace le vecteur w qui part de l'origine de v et qui s'arrête à la pointe de u

somme des vecteurs

b) Soustraction

-Soustraction v-u = w On utilise le vecteur inverse de u: -u, on a donc v+(-u), ensuite, mets les vecteurs v et -u bout à bout et on trace le vecteur w qui part de l'origine de v et qui s'arrête à la pointe de -u

soustraction des vecteurs

c) Relation de chasles

Pour tout points ABC, vecteur AC= vecteur AB + vecteur BC

relation de chasles

I- Vecteurs colinéaires, décomposition dans une base

1) Vecteurs colinéaires

-2 vecteurs u et v sont colinéaires si a vecteur u = k x vecteur v où k est un réel, appelé coefficient de colinéarité

REMARQUE: le vecteur nul est colinéaire à tout vecteurs (car 0 multiplié par n'importes quels nombres est égal à 0)

2)Décomposition d'un vecteur dans une base

-Soit un repère (O; vecteur i; vecteur j) dans un plan

-Pour tout vecteurs dans le plan va s'écrire a x vecteur i + b x vecteur j

-On dit que le vecteur est décomposé. (a;b) sont les coordonnées du vecteur

II- Coordonnées dans un repère du plan

-Un repère est définit par une origine (un point) et une base (2 vecteurs)

En générale, on a (0; vecteur i;vecteur j)

1) Coordonnées d'un vecteur

-A(xa;ya) B(xb;yb) dans un repère (O;vecteur i;vecteur j) le vecteur AB a pour coordonnée (xb-xa;yb-ya)

2) Coordonnées de vecteur u + vecteur v

-Il suffit d'ajouter les coordonnés en X et en Y: vecteur u+vecteur v = Xu+Xv en x et Yu+Yv en Y

3)Coordonnées de k x vecteur u

il suffit de multiplier les coordonnés en X et en Y par "k"

4)Propriété

- 2 vecteurs u (X;Y) et v (X';Y') sont colinéaires, si et seulement si:

XY'-X'Y = 0 et on calcul k avec k =X'/X

III) Équations cartésienne d'une droite

1) Vecteur directeur d'une droite

-Le vecteur directeur d'une droite est un vecteur non nul qui a la même direction que la droite

2) Équation cartésienne de D

-On définie un repère (O,I,J)

a) Propriété et caractéristiques

-"u" un vecteur non nul, A un point et la droite D(1;u) passant par A et de vecteur directeur "u"

Propriété: La droite D est l'ensemble des points M tels que AM et u soient colinéaire (1 point commun donc les vecteurs sont alignés)

b) Équation cartésienne d'une droite

-Toutes droite a un vecteur directeur et une équation cartésienne de la forme:

ax + by + c = 0

- Le vecteur directeur est: u( -b,a)

-On utilise donc le vecteur directeur pour avoir l'équation cartésienne ou l'équation pour avoir le vecteur de la droite

REMARQUE: tout point de la droite va vérifier l'équation si on remplace x et y par les coordonnés du point

-Si on a une équation de type y= ax+b, l'équation cartésienne est: ax-y+b=0 avec un vecteur directeur: u(1;a)

La suite: Le produit scalaire

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