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Chapitre 2 Fonction, généralités

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I Rappel des généralités

1) Ensemble de définition

Noté D, c'est l'ensemble des valeurs qui ont une image par f

2) Sens de variation

Sur un intervalle donné:

-f est strictement croissante si pour tout "a" < "b", on a f(a)< f(b)

-f est strictement décroissante si pour tout "a" < "b", on a f(a) > f(b)

-f est strictement constante si pour tout "a" < "b", on a f(a) égale f(b)

Multiplier une fonction par un chiffre négatif, le sens de variation de la fonction s'inverse

Ajouter ou retrancher un chiffre à une fonction déplace la fonction sur l'axe x, mais ne change pas le sens de variation !!

3) Maximum et minimum

Si f(a) est le maximum de la fonction f, alors, pour tout x, f(x) est toujours < f(a)

Si f(a) est le minimum de la fonction f, alors, pour tout x,f(x) est toujours > f(a)

Cet extremum est atteint pour x = a

II Fonction de références

2) Fonction déjà connue

-f(x) = x, fonction linéaire, définie sur R

-f(x) = ax+b, fonction affine, définie sur R

Si a est < 0, la fonction est strictement décroissante sur R

Si a est égale à 0,la fonction est strictement constante sur R

Si a est > 0,la fonction est strictement croissante sur R

Signe de ax+b: ]-∞;-b/a[ : signe de -a ,pour le point [-b/a] : 0 et pour ]-b/a;+∞[ : signe de a

3)Fonction racine carré

- f(x) = √x

a) ensemble de définition

Définie sur [0;+∞]

b)Variation de la fonction carré

La fonction racine est strictement croissante

La fonction racine est la symétrique de la fonction f(x) =x² par rapport à la fonction f(x) = x

3) Fonction valeur absolue

Notée f(x) = |x|

a) Définition

La fonction est définie sur R

Si x ≥ 0, |x| = x

Si x est ≤ 0,|x| = -x

b) Variation de la fonction

Sur ]-∞;0] la fonction est décroissante

Sur [0;+∞[ la fonction est croissante

d) Propriété

|x| est toujours ≥ 0

|x| = |-x|

√x² = |x|

Pour retirer la valeur absolue, si le chiffre ou l'expression à l'intérieur est < 0, il faut le/la multiplier par -1;

Exemple: |2-3| = -2+3 = 3-2 ; |25-37| = -25 +37 = 37-25

e) Distance entre 2 points

-La distance entre 2 points sur l'axe des x est |b-a|

IMPORTANT: |b-a| = |a-b| car seul la valeur sans le signe compte

f) Résolution de |x-a| = r avec r >0

-Soit A un point d'abscisse a et M un point d'abscisse x

|x-a| = r signifie distance de A à M = r et s'écrit d(x;a)= r

-On a donc x = a+r ou x = a-r : l'abscisse du point M est l'abscisse du point A plus r ou l'abscisse du point A moins r

g) Résolution de |x-a| < r et |x-a| > r

-Soit A un point d'abscisse a et M un point d'abscisse x

|x-a|<r signifie: distance de A à M < r

On l'écrit distance de A à M >r d(x-a)<r

-On a donc: a-r<x<a+r ou x∈[a-r;a+r]

|x-a|>r signifie: distance de A à M >r

➥ On l'écrit distance de A à M >r d(x-a)>r

-On a donc: x> a+r ou x<a-r ou bien x∈]-∞;a-r[∪]a+r;+∞[

REMARQUE: d(x+a) = d(x-(-a)) et ((a-r) + (a+r))/2= a et |a-(a+r)| = r

r est toujours positifs

EXEMPLE: -8≤x≤-5 donne |x+6,5|≤1,5 et d(x;-6,5)≤1,5 car:

(-8+(-5))/2 = -6,5=a et (-6,5)-(-5) = |-1,5|= 1,5 = r

Les fonctions de référence sont utiles pour le calcul de la dérivé

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