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Vecteurs de l'espace

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Rappel et révisions sur les vecteurs

Pour les rappels sur les vecteurs: Cours de maths sur les vecteurs (première)

Caractéristiques d'un plan dans l'espace

Pour caractériser tous les vecteurs dirigeant d'un plan, il faut 2 vecteurs dirigeant du plan et non colinéaires

Pour caractériser tous les points d'un plan, il faut 2 vecteurs dirigeant du plan et non colinéaires

Propriétés d'un plan

(u) et (v): deux vecteurs s dirigeant du plan P

(w): un vecteur de l'espace

Si w dirige le plan P, alors:

Il existe un couple (a,b) ∈ R² tel que: w = a*(u)+b*(v)

->(w) est dans le plan P

Caractérisation d'un plan

On a vue plus haut que pour caractériser un plan, il faut et il suffit de deux vecteurs s non colinéaires dirigeant ce plan

Si (u) et (v) sont deux vecteurs s colinéaires dirigeant P alors ((u);(v)) forme une base de P

Et: Si A∈P, (A;(u);(v)) forme un repère de P

->Il existe donc un couple (a,b)∈ R² et un point M∈ P tel que le vecteur (AM) = a*(u)+b*(v)

->(AM) est dans le plan P

Coordonnées

(A,(u),(v)) est un repère de P

Propriétés

-Pour tout vecteur (w) dirigeant P, il existe un unique couple (a,b)∈ R² tel que (w) = a*(u)+b*(v)

->w est dans le plan P

-Pour tout point M ∈ P, il existe un unique couple (α , β) ∈ R² tel que: (AM) = α*(u);+β*(v)

->(AM) est dans le plan P

REMARQUE: M et (AM) ont les mêmes coordonnées dans tout le repère d'origine A

Propriétés des plans parallèles

P1 est un plan de repère (A1; (u)1; (v)1)

P2 est un plan de repère (A2; (u)2; (v)2)

P1 // P2 équivaut à: (u)2 et (v)2 dirigent P1

ET

P1 // P2 équivaut à: (u)1 et (v)1 dirigent P2

Repère de l'espace et colinéarité

Définition de la colinéarité

Les vecteurs (u), (v) et (w) sont coplanaire si:

il existe un couple (a,b) ∈ R tel que w = a*(u)+b*(v)

Remarque: 3 vecteurs sont coplanaire si l'un d'entre eux est nul

Prouver que 2 vecteurs ne sont pas colinéarité

(u),(v) et (w) ne sont pas coplanaire si:

∀ (α123) ∈ R3:

α1*(u)+α2*(v)+α3*(w) = 0

-> α1 = α2 = α3 = 0

Si trois vecteurs (u1),(u2),(u3) sont non colinéarité de l'espace, alors:

Ils forment la base de l'espace

Et si A est un point de l'espace, alors (A;u1;u2;u3) est un repère de l'espace dont A est l'origine

Coordonnées dans l'espace

Propriétés des coordonnées

(A;(u1);(u2);(u3;)) est un repère de l'espace

1) Pour tout vecteur (u) de l'espace, il existe un triplet unique (a,b,c) ∈ R3 tel que:

(w) = a*(u1)+b*(u2)+c*(u3)

2) Pour tout points M de l'espace, il existe un point unique (α;β;γ) ∈ R3 tel que:

(AM) = α*(u1)+β*(u2)+γ*(u3)

->Dans ces deux cas, le triplet s'appelle le triplet de coordonnées

Remarque: M et (AM) ont les même coordonnées dans tout repère d'origine A

Points et vecteurs dans un plan

Points et vecteurs

Si: A ∈ P et B∈ P alors (AB) dirige P

A∈ P et (u) dirige P

Si (AB) = k*(u) alors B∈ P

Points et colinéarité

A,B,C,D sont colinéaireséquivaut à (AB), (AC) et (AD) sont colinéairess

Calculs avec les coordonnées

Somme de deux vecteurs s

Soit 2 vecteurs (u) et (v) tels que: (u):(α,β,γ) et (v):(α',β',γ')

La somme de ces 2 vecteurs donne:

(s) = (u)+(v) = (s): (α + α',β + β',γ + γ')

->On fait simplement la somme des coordonnées sur chaque axe

Produit d'un vecteur et d'un réel

λ ∈ R

Le produit λ*(u) donne:

(w) = λ*(u) = (w): (λ*α,λ*β,λ*γ)

On multiplie simplement les coordonnées de chaque axe par λ

Coordonnées d'un vecteur définie par deux points

2 points: A (xa;ya;za) et B(xb;yb;zb)

AB a donc pour coordonnées: AB( xb-xa;yb-ya;zb-za)

Si O (0;0;0) est l'origine du repère, alors :

OA et A ont les mêmes coordonnées

OB et B ont les mêmes coordonnées

Et: AB = AO+OB = OB-OA

Milieux de deux points

I(xI;yI;zI) est le milieu de [AB]

On a donc:

xI = (xA-xB)/2

yI = (yA-yB)/2

zI = (zA-zB)/2

Distances et norme

La distance de AB est égale à la norme du vecteur AB

-> Distance de AB = √((xB-xA)²+(yB-yA)²+(zB-zA))

Donc la norme du vecteur (u):(α;β;γ) est:

||u|| = √(α²+β²+γ²)

Représentations paramétriques

Représentation paramétrique d'une droite

D est une droite passant par A(xa;ya;za) et de vecteur directeur (u):(α;β;γ)

M(x,y,z) ∈ D équivaut à:

-Il existe un réel k tels que:

Le vecteur (AM) = k*(u)

-Il existe un réel k tels que:

x-xA = k*α

y-yA = k*β

z-zA = k*γ

Propriétés et définitions

L'ensemble des points M(x,y,z) ∈ D sont caractérisés par:

x = xA + k*α

y = yA + k*β

z = zA + k*γ

=> C'est la représentation paramétrique de D

Exemple: si D passe par A(1;-2;3) et son vecteur directeur est: (u):(1;0;-2)

Les représentations paramétriques de D peuvent être:

x = 1+k ou x = 1+2k

y = -2 ou y = -2

z = 3 - 2k ou z = 3-4k

->Il y en a une infinité

De plus, on a : C(-2;-2;9) ∈ D si k = -3

Représentation paramétrique d'un plan

P est un plan définie par A(xA;yA;zA;), (u):(α;β;γ) et (v): (α';β';γ') avec (u) et (v) non colinéaires

M(x,y,z) ∈ P équivaut à:

-Il existe un couple (s;t) ∈ R² tel que:

Le vecteur (AM) = t*(u)+s*(v)

-Il existe un couple (s;t) ∈ R² tel que:

x-xA = α*t +α'*s

y-yA = β*t +β'*s

z-zA = γ*t +γ'*s

=> Ce système est une représentation paramétrique du plan P

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