Vecteurs de l'espace

Rappel et révisions sur les vecteurs

Pour les rappels sur les vecteurs: Cours de maths sur les vecteurs (première)

Caractéristiques d'un plan dans l'espace

Pour caractériser tous les vecteurs dirigeant d'un plan, il faut 2 vecteurs dirigeant du plan et non colinéaires

Pour caractériser tous les points d'un plan, il faut 2 vecteurs dirigeant du plan et non colinéaires

Propriétés d'un plan

$u↖ {→}$ et $v↖ {→}$: deux vecteurs dirigeant du plan P

$w↖ {→}$: un vecteur de l'espace

Si $w↖ {→}$ dirige le plan P, alors:

Il existe un couple (a,b) ∈ R² tel que: $w↖ {→} = a ✕ u↖ {→}+b ✕ v↖ {→}$

➥$w↖ {→}$ est dans le plan P

Caractérisation d'un plan

On a vue plus haut que pour caractériser un plan, il faut et il suffit de deux vecteurs non colinéaires dirigeant ce plan

Si $u↖ {→}$ et $v↖ {→}$ sont deux vecteurs colinéaires dirigeant P alors ($u↖ {→};v↖ {→}$) forme une base de P

Et: Si A∈P, (A;$u↖ {→};v↖ {→}$) forme un repère de P

➥Il existe donc un couple (a,b)∈ R² et un point M∈ P tel que le vecteur ${AM}↖ {→} = a ✕ u↖ {→}+b ✕ v↖ {→}$

➥${AM}↖ {→}$ est dans le plan P

Coordonnées

(A,$u↖ {→},v↖ {→}$) est un repère de P

Propriétés

-Pour tout vecteur $w↖ {→}$ dirigeant P, il existe un unique couple (a,b)∈ R² tel que $w↖ {→} = a ✕ u↖ {→}+b ✕ v↖ {→}$

➥w est dans le plan P

-Pour tout point M ∈ P, il existe un unique couple (α , β) ∈ R² tel que: ${AM}↖ {→} = α ✕ u↖ {→}+β ✕ v↖ {→}$

➥${AM}↖ {→}$ est dans le plan P

REMARQUE: M et ${AM}↖ {→}$ ont les mêmes coordonnées dans tout le repère d'origine A

Propriétés des plans parallèles

P₁ est un plan de repère (A₁; ${u_1}↖ {→}; {v_1}↖ {→}$)

P₂ est un plan de repère (A₂; ${u_2}↖ {→}; {v_2}↖ {→}$)

P₁ // P₂ équivaut à: ${u_2}↖ {→}$ et ${v_2}↖ {→}$ dirigent P₁

ET

P₁ // P₂ équivaut à: ${u_1}↖ {→} et {v_1}↖ {→}$ dirigent P₂

Repère de l'espace et colinéarité

Définition de la colinéarité

Les vecteurs $u↖ {→}, v↖ {→} et w↖ {→}$ sont coplanaire si:

il existe un couple (a,b) ∈ R tel que $w↖ {→} = a ✕ u↖ {→}+b ✕ v↖ {→}$

Remarque: 3 vecteurs sont coplanaire si l'un d'entre eux est nul

Prouver que 2 vecteurs ne sont pas colinéarité

$u↖ {→},v↖ {→} et w↖ {→}$ ne sont pas coplanaire si:

∀ (α₁;α₂;α₃) ∈ R³:

α₁ ✕ $u↖ {→}$+α₂ ✕ $v↖ {→}$+α₃ ✕ $w↖ {→}$ = 0

➥ α₁ = α₂ = α₃ = 0

Si trois vecteurs (u₁),(u₂),(u₃) sont non colinéarité de l'espace, alors:

Ils forment la base de l'espace

Et si A est un point de l'espace, alors (A;u₁;u₂;u₃) est un repère de l'espace dont A est l'origine

Coordonnées dans l'espace

Propriétés des coordonnées

(A;(u₁);(u₂);(u₃;)) est un repère de l'espace

1) Pour tout vecteur $u↖ {→}$ de l'espace, il existe un triplet unique (a,b,c) ∈ R³ tel que:

$w↖ {→}$ = a ✕ (u₁)+b ✕ (u₂)+c ✕ (u₃)

2) Pour tout points M de l'espace, il existe un point unique (α;β;γ) ∈ R³ tel que:

${AM}↖ {→}$ = α ✕ (u₁)+β ✕ (u₂)+γ ✕ (u₃)

➥Dans ces deux cas, le triplet s'appelle le triplet de coordonnées

Remarque: M et ${AM}↖ {→}$ ont les même coordonnées dans tout repère d'origine A

Points et vecteurs dans un plan

Points et vecteurs

Si: A ∈ P et B∈ P alors ${AB}↖ {→}$ dirige P

A∈ P et $u↖ {→}$ dirige P

Si ${AB}↖ {→} = k ✕ u↖ {→}$ alors B∈ P

Points et colinéarité

A,B,C,D sont colinéaireséquivaut à ${AB}↖ {→}, {AC}↖ {→} et {AD}↖ {→}$ sont colinéairess

Calculs avec les coordonnées

Somme de deux vecteurs s

Soit 2 vecteurs $u↖ {→}$ et $v↖ {→}$ tels que: $u↖ {→}:(\table α ; β ; γ)$ et $v↖ {→}:(\table α' ; β' ; γ')$

La somme de ces 2 vecteurs donne:

$s↖ {→} = u↖ {→}+v↖ {→} = s↖ {→}: $$(\table α + α' ; β + β' ; γ + γ')$

➥On fait simplement la somme des coordonnées sur chaque axe

Produit d'un vecteur et d'un réel

λ ∈ R

Le produit λ ✕ $u↖ {→}$ donne:

$w↖ {→} = λ ✕ u↖ {→} = w↖ {→}$: (λ ✕ α,λ ✕ β,λ ✕ γ)

On multiplie simplement les coordonnées de chaque axe par λ

Coordonnées d'un vecteur définie par deux points

2 points: A (x_a;y_a;z_a) et B(x_b;y_b;z_b)

AB a donc pour coordonnées: AB( x_b-x_a;y_b-y_a;z_b-z_a)

Si O (0;0;0) est l'origine du repère, alors :

OA et A ont les mêmes coordonnées

OB et B ont les mêmes coordonnées

Et: AB = AO+OB = OB-OA

Milieux de deux points

I(x_I;y_I;z_I) est le milieu de [AB]

On a donc:

x_I = $(x_A-x_B)/2$

y_I = $(y_A-y_B)/2$

z_I = $(z_A-z_B)/2$

Distances et norme

La distance de AB est égale à la norme du vecteur AB

➥ Distance de AB = √((x_B-x_A)²+(y_B-y_A)²+(z_B-z_A))

Donc la norme du vecteur $u↖ {→}:(\table α;β;γ)$ est:

‖u ‖ = √(α²+β²+γ²)

Représentations paramétriques

Représentation paramétrique d'une droite

D est une droite passant par A(x_a;y_a;z_a) et de vecteur directeur u↖ {→}:(α;β;γ)

M(x,y,z) ∈ D équivaut à:

-Il existe un réel k tels que:

Le vecteur ${AM}↖ {→}$ = k ✕ $u↖ {→}$

-Il existe un réel k tels que:

x-x_A = k ✕ α

y-y_A = k ✕ β

z-z_A = k ✕ γ

Propriétés et définitions

L'ensemble des points M(x,y,z) ∈ D sont caractérisés par:

x = x_A + k ✕ α

y = y_A + k ✕ β

z = z_A + k ✕ γ

➨ C'est la représentation paramétrique de D

Exemple: si D passe par A(1;-2;3) et son vecteur directeur est: $u↖ {→}$:(1;0;-2)

Les représentations paramétriques de D peuvent être:

x = 1+k ou x = 1+2k

y = -2 ou y = -2

z = 3 - 2k ou z = 3-4k

➥Il y en a une infinité

De plus, on a : C(-2;-2;9) ∈ D si k = -3

Représentation paramétrique d'un plan

P est un plan définie par A(x_A;y_A;z_A;), $u↖ {→}$:(α;β;γ) et $v↖ {→}$: (α';β';γ') avec $u↖ {→}$ et $v↖ {→}$ non colinéaires

M(x,y,z) ∈ P équivaut à:

-Il existe un couple (s;t) ∈ R² tel que:

Le vecteur ${AM}↖ {→}$ = t ✕ $u↖ {→}$+s ✕ $v↖ {→}$

-Il existe un couple (s;t) ∈ R² tel que:

x-x_A = α ✕ t +α' ✕ s

y-y_A = β ✕ t +β' ✕ s

z-z_A = γ ✕ t +γ' ✕ s

➨ Ce système est une représentation paramétrique du plan P

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