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Suites généralités|cours de maths terminale

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Ici, pour tout n, entier naturel

I Sens de variation d'une suite

(Un) est une suite numérique (on a donc (Un) appartient à R,) définie à partir du rang "n"

1)Définition du sens de variation d'une suite

Une suite Un est croissante si pour tout n appartenant à N, Un+1-Un≥0

Une suite Un est décroissante si pour tout n appartenant à N, Un+1-Un≤0>

2) Propriété

(Un) est une suite définie par Un=f(n) à f est une fonction dérivable sur R

->On dits donc que Un est définie en fonction de son rang n

Si f' est positive sur R+, alors Un est croissante

Si f' est négative sur R+, alors Un est décroissante

II Suites arithmétiques et géométrique

1) Rappel

Suite arithmétique de raison r et de premier terme a

U0 = a

Relation de récurrence:

pour tout entier naturel n, Un+1 = Un+r

Formule explicite:

Pour tout entier naturel n, Un = a+n*r

Relation entre deux termes quelconques:

Pour tout entier naturel n et p, Un = Up+(n-p)*r

Somme de n termes consécutif = nombre de termes*moyenne des termes extrêmes

->Somme des termes de rang 0 à n = (n+1)*(U0+Un/2)

Suite géométrique de raison q et de premier terme a

U0 = a

Relation de récurrence

pour tout entier naturel n, Un+1 = q*Un

Formule explicite

pour tout entier naturel n, Un = a*qn

Relation entre deux termes quelconques

Pour tout entiers naturel n, Un = Up*qn-p

Si q différent de 1

Somme des n termes consécutifs = premier terme*(1-qnombre de termes/1-q)

->somme des termes de rang 0 à n = U0*((1-qn+1)/(1-q))

2)Propriété

1) Une suite (Un) est arithmétique si et seulement si on a Un+1-Un=constante

2) Une suite (Un) dont aucun terme n'est nul

-(Un) est une suite géométrique si et seulement si le rapport Un+1/Un=constante

III Somme de termes d'une suite

1) Suite arithmétique, somme des entier naturels

Σk=0k=n:Uk = (n(n+1))/2

->Somme de tous les termes de la suite Un pour n allant de 0 à k = (n(n+1))/2

Démonstration:

S = 1+2+3+...+(n-2)+(n-1)+n

On additionne dans le sens inverse

S = n+(n-1)+(n-2)+...+3=2=1

On ajoute ensuite ces 2 sommes, on obtient

2S = (n+1)+(n+1)+...+(n+1)+(n+1)

REMARQUE: On a n termes

On factorise par n, on obtient alors 2S = (n(n+1))

On divise donc par 2 (on a ajouté 2 fois la somme)

On obtient enfin: S = (n(n+1))/2

2) Suites géométriques, somme des entiers naturels

Pour une suite de raison q

Σk=0k=n:Uk = (1-qn+1)/(1-q)

Démonstration:

(1-q)(1+q) = 1-q²

(1-q)(1+q+q²) = 1+q+q²-q-q3 = 1-q3

On utilise cette propriété pour calculer la somme d'une suite géométrique

S = 1+q+q²+...+qn

->On multiplie par (1-q)

=>On obtient (1-q)(1+q+q²+...+qn)

Après développement: on a 1-qn+1

On divise par (1-q) pour retomber sur la somme (que l'on avait multiplié par (1-q) juste avant)

On a donc pour tout q appartenant à R privé de 0 et 1, S = (1-qn+1)/(1-q)

Suite du cours: Le raisonnement par récurrence

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