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Produit scalaire dans l'espace|cours de maths terminale

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Qu'est ce qu'un produit scalaire dans le plan ?

Définition du produit scalaire

On est dans un repère orthonormé du plan P

(u): (a,b) et (v): (a',b') sont deux vecteurs s qui dirigent P

Le produit scalaire se note:

(u).(v) = a*a'+b*b'

On a donc: (u).(u) = a²+b² = ||(u)||²

Autres écritures du produit scalaire

Pour ces écritures, on a besoin des coordonnées

(u).(v) = ||(u)||*||(v)||*cos((u),(v))

AB.AC = AB*AC*cos(BAC)

AB.AC = AH.AC = AH*AC si H appartient à [AC]

ou AB.AC = AH.AC = -AH*AC si H n'appartient pas à [AC]

->On utilise ces propriétés quand on peut avoir le projeté orthogonal d'un vecteur AH sur le vecteur AC (on place H sur AC en le déplaçant perpendiculairement à AC)

Plus généralement, on a:

(u).(v) = (1/2)*[||(u)+(v)||² - ||(u)||²-||(v)||²]

Propriétés algébriques du produit scalaire:

(u).(u) = ||(u)||² = (u)²

(u).(v) = (v).(u)

(k*(u)).(v) = (u).(k*(v)) = k*((u).(v))

(u).((v)+(w)) = (u).(v)+(u).(w)

((u)+(v))² = (u)²+2*(u).(v)+(v)²

->Le produit scalaire suit les règles de distributivité

REMARQUE: il n'y a pas de multiplication entre deux vecteurs , à la place, on fait le produit scalaire de ces deux vecteurs s

Vecteur normal à une droite

Définition

D est une droite, (u) est son vecteur directeur

(v) est un vecteur normal à D si :

(u).(v) = 0 avec (v) non nul

->Le produit scalaire du vecteur directeur de la droite et du vecteur (v) est nul donc (u) et (v) sont perpendiculaire

Propriété des vecteurs normal à une droite

D : une droite d'un plan P

(v) est un vecteur normal à D

M∈ D équivaut à AM.(v) = 0

Dans un plan: vecteur normal d'équation d'une droite

P: un plan muni d'un repère orthonormé

u(a,b) dirige P

A(xa,ya) ∈ P

D est une droite passant par A et perpendiculaire à (u)

M(x,y) ∈ D équivaut à AM.(u) = 0

On a donc: (x-xa)*a + (y-ya)*b = 0

-> ax+by-(a*xa+ b*ya) = 0

D a donc une équation de la forme ax+by+c = 0

->C'est l'équation cartésienne de la droite D

REMARQUE: pour avoir une équation cartésienne, il faut une droite,2 points et un vecteur normal à la droite

Produit scalaire dans l'espace

Définition

L'espace est définie par un repère orthonormé (i;j;k) de centre O

Deux vecteurs (u):(a,b,c) et (v): (a',b',c')

On a: (u).(v) = a*'a + b*b' + c*c'

Propriété

Les propriétés algébriques du produit scalaire et les écritures du produit scalaire sont aussi valable dans l'espace

Comme dans le plan: (u).(v) = 0 équivaut à dire que (v) est perpendiculaire à (u)

Orthogonalité dans l'espace

Vecteur normal à deux droites

D est une droite dont le vecteur directeur est (u)

D' est une droite dont le vecteur directeur est (v)

D perpendiculaire à D' équivaut à (u).(v) = 0

->Leurs vecteurs directeur sont aussi perpendiculaire

Vecteur normal à un plan

Définition d'un vecteur normal à un plan

P est un plan de base (v1; v2)

(u) est normal à P si:

u.v1 = (u).v2 = 0 et (v) est différent de 0

propriété

P: un plan

-Si (u) est normal à P:

(u) est normal à tout les vecteurs de P

(u) est normal à toute les droites de P

D est une droite de vecteur directeur (u)

-Si D est normal à P, alors (u) est normal à P

n1 est un vecteur normal à un plan P1

n2 est un vecteur normal à un plan P2

Si n1 et n2 sont colinéaires, alors P1 et P2 sont parallèle

Plan perpendiculaires

Définition

Deux plans sont perpendiculaire si l'un des plans contient une droite perpendiculaire à l'autre plan

Propriétés de deux plan perpendiculaires

n1.n2 = 0 équivaut à P1 perpendiculaire à P2

n1 est normal à P1

n2 est normal à P2

Équation cartésienne du plan

Une caractérisation du plan

Ici, on se place dans un repère orthonormé de l'espace

(n) est un vecteur normal à un plan P

P est munis d'un repère (A,(u),(v))

Propriété: M∈P équivaut à AM.(n) = 0

->Si M est dans le plan, alors la droite passant par M et le centre du repère est normal au vecteur (n)

Caractérisation d'un plan avec les coordonnées

Un point A(xa, ya, za)du plan P et un vecteur n(a,b,c) normal au plan P

M ∈ P équivaut à AM.n = 0

->(x-xa)*a+(y-ya)*b+(z-za)*c = 0

On a donc: ax+by+cz -(a*xa+b*ya+c*za) = 0

Propriété des coordonnées du plans

pour n(a,b,c) un vecteur normal à P, une équation du plan est:

ax+by+cz+d = 0

->On utilise les coordonnées du vecteur normal au plan

d est une constante que l'on détermine en replaçant x,y et z par les coordonnées d'un point du plan

L'équation ax+by+cz+d = 0 est l'équation cartésienne du plan P

Droite définie par un plan sécant

Deux plans sont sécants en une seul et unique droite

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