Produit scalaire dans l'espace|cours de maths terminale

Qu'est ce qu'un produit scalaire dans le plan ?

Définition du produit scalaire

On est dans un repère orthonormé du plan P

$u↖ {→}: (table a;b) et v↖ {→}: (\table a';b')$ sont deux vecteurs qui dirigent P

Le produit scalaire se note:

$u↖ {→}.v↖ {→}$ = a ✕ a'+b ✕ b'

On a donc: $u↖ {→}.u↖ {→} = a²+b² = ‖u↖ {→}‖^2$

Autres écritures du produit scalaire

Pour ces écritures, on a besoin des coordonnées

$u↖ {→}.v↖ {→} = ‖u↖ {→}‖ ✕ ‖v↖ {→}‖ ✕ cos(u↖ {→},v↖ {→})$

AB.AC = AB ✕ AC ✕ cos(BAC)

AB.AC = AH.AC = AH ✕ AC si H appartient à [AC]

ou AB.AC = AH.AC = -AH ✕ AC si H n'appartient pas à [AC]

➥On utilise ces propriétés quand on peut avoir le projeté orthogonal d'un vecteur AH sur le vecteur AC (on place H sur AC en le déplaçant perpendiculairement à AC)

Plus généralement, on a:

$u↖ {→}.v↖ {→} = (1/2) ✕ [{‖u↖ {→}+v↖ {→}‖}^2 - {‖u↖ {→}‖}^2-{‖v↖ {→}‖}^2]$

Propriétés algébriques du produit scalaire:

$u↖ {→}.u↖ {→}$ = ${‖u↖ {→}‖}^2 = {u↖ {→}}^2$

$u↖ {→}.v↖ {→} = v↖ {→}.u↖ {→}$

$(k ✕ u↖ {→}).v↖ {→} = u↖ {→}.(k ✕ v↖ {→}) = k ✕ (u↖ {→}.v↖ {→})$

$u↖ {→}.(v↖ {→}+(w)) = u↖ {→}.v↖ {→}+u↖ {→}.(w)$

$(u↖ {→}+v↖ {→})^2 = {u↖ {→}}^2+2 ✕ u↖ {→}.v↖ {→}+{v↖ {→}}^2$

➥Le produit scalaire suit les règles de distributivité

REMARQUE: il n'y a pas de multiplication entre deux vecteurs , à la place, on fait le produit scalaire de ces deux vecteurs s

Vecteur normal à une droite

Définition

D est une droite, $u↖ {→}$ est son vecteur directeur

$v↖ {→}$ est un vecteur normal à D si :

$u↖ {→}.v↖ {→}$ = 0 avec $u↖ {→}$ et $v↖ {→}$ non nul

➥Le produit scalaire du vecteur directeur de la droite et du vecteur $v↖ {→}$ est nul donc $u↖ {→}$ et $v↖ {→}$ sont perpendiculaire

Propriété des vecteurs normal à une droite

D : une droite d'un plan P

$v↖ {→}$ est un vecteur normal à D

M∈ D équivaut à ${AM}↖ {→}.v↖ {→}$ = 0

Dans un plan: vecteur normal d'équation d'une droite

P: un plan muni d'un repère orthonormé

u(a,b) dirige P

A(x_a,y_a) ∈ P

D est une droite passant par A et perpendiculaire à $u↖ {→}$

M(x,y) ∈ D équivaut à ${AM}↖ {→}.u↖ {→}$ = 0

On a donc: (x-x_a) ✕ a + (y-y_a) ✕ b = 0

➥ ax+by-(a ✕ x_a+ b ✕ y_a) = 0

D a donc une équation de la forme ax+by+c = 0

➥C'est l'équation cartésienne de la droite D

REMARQUE: pour avoir une équation cartésienne, il faut une droite,2 points et un vecteur normal à la droite

Produit scalaire dans l'espace

Définition

L'espace est définie par un repère orthonormé (i;j;k) de centre O

Deux vecteurs $u↖ {→}:( \table a;b;c)$ et $v↖ {→}: (\table a';b';c')$

On a: $u↖ {→}.v↖ {→}$ = a ✕ 'a + b ✕ b' + c ✕ c'

Propriété

Les propriétés algébriques du produit scalaire et les écritures du produit scalaire sont aussi valable dans l'espace

Comme dans le plan: $u↖ {→}.v↖ {→} = 0$ équivaut à dire que $v↖ {→}$ est perpendiculaire à $u↖ {→}$

Orthogonalité dans l'espace

Vecteur normal à deux droites

D est une droite dont le vecteur directeur est $u↖ {→}$

D' est une droite dont le vecteur directeur est $v↖ {→}$

D perpendiculaire à D' équivaut à $u↖ {→}.v↖ {→}$ = 0

->Leurs vecteurs directeur sont aussi perpendiculaire

Vecteur normal à un plan

Définition d'un vecteur normal à un plan

P est un plan de base (${v_1}↖ {→}; {v_2}↖ {→}$)

$u↖ {→}$ est normal à P si:

$u↖ {→}.{v_1}↖ {→} = u↖ {→}.{v_2}↖ {→}$ = 0 et $v↖ {→}$ est différent de 0

propriété

P: un plan

-Si $u↖ {→}$ est normal à P:

$u↖ {→}$ est normal à tout les vecteurs de P

$u↖ {→}$ est normal à toute les droites de P

D est une droite de vecteur directeur $u↖ {→}$

-Si D est normal à P, alors $u↖ {→}$ est normal à P

${n_1}↖ {→}$ est un vecteur normal à un plan P₁

${n_2}↖ {→}$ est un vecteur normal à un plan P₂

Si ${n_1}↖ {→}$ et ${n_2}↖ {→}$ sont colinéaires, alors P₁ et P₂ sont parallèle

Plan perpendiculaires

Définition

Deux plans sont perpendiculaire si l'un des plans contient une droite perpendiculaire à l'autre plan

Propriétés de deux plan perpendiculaires

${n_1}↖ {→}.{n_2}↖ {→}$ = 0 équivaut à P₁ perpendiculaire à P₂

${n_1}↖ {→}$ est normal à P₁

${n_2}↖ {→}$ est normal à P₂

Équation cartésienne du plan

Une caractérisation du plan

Ici, on se place dans un repère orthonormé de l'espace

(n) est un vecteur normal à un plan P

P est munis d'un repère (A,$u↖ {→},v↖ {→}$)

Propriété: M∈P équivaut à AM.(n) = 0

➥Si M est dans le plan, alors la droite passant par M et le centre du repère est normal au vecteur (n)

Caractérisation d'un plan avec les coordonnées

Un point A(x_a, y_a, z_a)du plan P et un vecteur n(a,b,c) normal au plan P

M ∈ P équivaut à AM.n = 0

➥(x-x_a) ✕ a+(y-y_a) ✕ b+(z-z_a) ✕ c = 0

On a donc: ax+by+cz -(a ✕ x_a+b ✕ y_a+c ✕ z_a) = 0

Propriété des coordonnées du plans

pour $n↖ {→}: (\table a;b;c)$ un vecteur normal à P, une équation du plan est:

ax+by+cz+d = 0

➥On utilise les coordonnées du vecteur normal au plan

d est une constante que l'on détermine en replaçant x,y et z par les coordonnées d'un point du plan

L'équation ax+by+cz+d = 0 est l'équation cartésienne du plan P

Droite définie par un plan sécant

Deux plans sont sécants en une seul et unique droite

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