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Théorème de Moivre Laplace Estimation |cours de maths terminale

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Théorème de Moivre-Laplace

Introduction

Rappel:

Pour une loi binomiale :

Espérance : E(X) = n*p

Variance: V(X) = n*p*(1-p)

Pour une loi normal

σ = √ (V(X))

ν = E(X)

Le diagramme représentatif d'une loi binomiale a l'allure d'une courbe gaussienne

->On peut faire un lien entre loi binomiale et loi normal

Théorème de Moivre-Laplace

Soit X, une variable aléatoire qui suit une loi binomiale B(n,p)

On a la variable aléatoire Zn une loi normale N(0,1)définiepar:

Zn = (Xn - n*p)/√(n*p*(1-p)) = (XnB)/σn

Avec νB = E(X) et σB = σ(X)

On a donc pour tout réels a et b:

limn->+∞ p(a ≤Zn ≤ b) = (1/√(2*π))*ab e-t².2dt

Le théorème de Moivre-Laplace montre que l'on peut approcher une loi binomiale par une loi normale lorsque n est grand

-> Lorsque que: n ≥30, n*p ≥5 et (n*(1-p) ≥0,5

Intervalle de fluctuation asymptotique de Xn

Xn suit la loi binomiale B(n,p)

La fréquence Fn de cette loi binomiale vérifie:

Si Z suit une loi normal:

limn->+∞( P(p-uα*(√(p*(1-p)/n))) ) ≤ Fn ≤ p+uα*(√((p*(1-p))/n)) = 1-α

Si Z suit une loi normale centrée réduite:

Remarque: Fn est la fréquence pour n caractères

uα vérifie: p(-ualpha; ≤Z ≤ ualpha;) = 1-α

On parle de fluctuation asymptotiques car la probabilité est d'autant plus proche de 1-alpha; que n est grand

REMARQUE: Uα est l'intervalle de confiance, c'est à dire, le pourcentage des valeurs autour de la moyenne que l'on décide prendre en compte

Exemple, si l'intervalle de confiance est de 95%, on prend 95% des valeurs autour de la moyenne (on a un intervalle allant de -1,96 à + 1,96 sur une courbe gaussienne (cf Loi normal)

->95% est u0,05 qui est égal à 1,96

Pour calculer uα voir le Cours de terminale sur la loi normale

->Et il reste simplement à appliquer la formule :)

On a donc, l'intervalle de fluctuation qui est : [p-uα*(√((p*(1-p))/n));p+uα*(√((p*(1-p))/n))]

Estimation

Introduction aux estimations

On a vue que l'on établit l'intervalle de fluctuation à partir de la loi normale et de la loi binomiale avec le paramètre p parfaitement définie

Cet intervalle permet de mesurer l'écart entre la valeur théorique et la valeur obtenue de l'expérience sur un échantillon

Lors d'une estimation, on essaye de construire l'intervalle pour que p ait une certaine probabilité (que l'on définie à l'avance)

Définition

α ∈ [0;1]

L'intervalle de confiance de 1-α pour l'estimation de p est un intervalle K exprimé en fonction de n et Fn tel que:

P(p∈K) ≥1-α

Propriété

Xn: une variable aléatoire qui suit la loi B(n,p) avec n le nombre de caractère et p le nombre de succès

Fn = Xn/n est la fréquence associée à Xn

Lorsque n est grand, p ∈ [Fn- (1/√(n));Fn+ (1/√(n)) avec une probabilité égale à 0,95

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