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La Loi Normale

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Rappels et définitions

Parité d'une fonction

Définition

Soit f: une fonction définie sur R

f pair <=> ∀ x ∈ R , f(-x) = f(x)

f impair <=> ∀ x ∈ R , f(-x) = -f(x)

Une propriété

Soit f: une fonction définie continu sur R

Si f est paire, alors: ∀ a >0:

-aa f(t) dt = 20a f(t) dt

Intégrales généralisées

Soit f, une fonction intégrale sur R

a ∈ R

On définie:

0+∞ f(t) dt = limx->+∞ ax f(t) dt

On a donc:

-∞+∞ f(t) dt = limu->+∞ ua f(t) dt + limv-> -∞ au f(t) dt

Densité de probabilité

Une fonction est une densité de probabilité sur [a;b] ((a,b) ∈ R² et a <b) si:

- f est continue sur [a;b] (sauf pour un nombre fini de valeur)

- ∀ x ∈ [a;b] f(x) ≥0

- ab f(t) dt = 1

Une fonction est une densité de probabilité sur R si:

- f est continue sur R (sauf pour un nombre fini de valeur)

- ∀ x ∈ R f(x) ≥0

- -∞+∞ f(t) dt = 1

Calcul d'une probabilité avec une variable aléatoire a densité

f est une densité de probabilité définie sur R

f est une densité de probabilité d'une variable aléatoire X si:

∀ (a;b) ∈ R², p(a≤X≤b) = ab f(t) dt

-> Avec: a<b

REMARQUE: Qu'on enlève ou non les bornes revient à la même chose car la probabilité d'avoir un X unique est nul

On a donc: p(a≤X≤b) = p(X∈[a;b]) = p(a<X≤b) = p(X∈]a;b]) = p(a<X<b) = p(X∈]a;b[)

Fonction de répartition

X est une variable aléatoire de densité f définie sur R

La fonction de répartition de X est la fonction F définie sur R par:

F(x) = p(X≤x) = -∞x f(t) dt

Espérance d'une variable a densité

X est une variable aléatoire de densité f définie sur R

L'espérance E(X) est:

E(X) = -∞+∞ f(t) dt

Rappel: Si X est une variable aléatoire discrète: E(X), = i = nn p(X = xi)

Variance d'une variable à densité

La variance d'une variable à densité est:

V(X) = E([X-E(X)]²) = -∞+∞ [t-E(X)]² f(t) dt

Rappel: Si X est une variable aléatoire discrète:

V(X=) = ∑i = 1n (xi-E(X))²*p(X = xi)

Loi normale(ou Loi de Laplace-Gauss)

Définition

Une variable aléatoire X suit une loi normale notée N(μ,σ²) si:

Sa densité de probabilité f est définie sur R par: f(x) = (1/(σ*√(2π)))* e(-1/2)*((x-μ)/σ²)

->La formule n'est pas à connaître

On a alors:

L'espérance E(X) = μ

La variance: V(X) = σ²

Loi normale centrée réduite

Définition

La loi normale centrée réduite est la loi N0 = N(0;1)

La densité est donc de: f(x) = N(1/√(2*π))*e(-1/2)*x²

Espérance et variance

X suit la loi normale N0

L'espérance E(X) = 0

La variance: V(X) = σ(X) = 1

Conséquence: p(X ∈]-∞;+∞[) = 1

Donc: p(X ∈]-∞ ; 0[ ) = p(X ≤0)= 0,5

Représentation graphique

La loi normale centrée réduite se représente graphiquement par une courbe gaussienne (courbe en forme de cloche)

Calcule pratique avec une calculette

X suit la loi N0

Calculatrice: 2nd distrib, puis on sélectionne "fonction de répartition"

p(1≤ X≤ 2) = 12 f(x) dx = normalFrép(1,2) = 0,136

p(X≤ 2) = p(X ≤0) + p(0 ≤X≤2)

p(X≥ 1) = p(X ≥0) - p(0 ≤X≤1)

Relation utile

x0 > 0

p(-x0 ≤ X ≤ x0) = -x0x0 et f est paire

Comme f est paire: p(-x0 ≤ X ≤ x0) = 2*0x0 = 2* p(0 ≤ X ≤ x0)

De plus: p(0 ≤ X ≤ x0) = p(X ≥0) - p(0 ≤X≤x0) = p(X ≥0) - 0,5 = F(x0 -0,5

On a donc:

F(x0) = p(X ≤ x0) = 1/2 + p(0≤X≤x0)

p(-x0 ≤ X ≤ x0 = 2*F(x0) - 1 = 2*p(X≤x0) -1

Valeur particulière

u0,05 est un nombre positif tel que: p(-u0,05 ≤ X ≤ u0,05) = 1-0,05 = 0,95

Or 2*p(X ≤ u0,05)-1 = 0,95 donc p(X≤u0,05) = 1,95/2 = 0.975

On utilise la fonction réciproque: FractNm (0.975) = 1,96

Donc: u0.05 = 1.96

u0.01 est le nombre positif tel que: p(-u0,01 ≤ X ≤ u0,01) = 1-0.01 = 0.99

p(-u0,01 ≤ X ≤ u0,01) = 2*p(X≥U0.01)-1 = 1,99/2 = 0,995

D'après la calculette FractNm(0,995) = 2.58

Donc: = 2,58

Propriété

X est une variable aléatoire qui suit la loi N0

Pour tout x de R, il existe une valeur unique uα tel que:

p(-uα ≤ X ≤ uα) = 1-α

Généralisation

Calcul pratique

Pour calculer p(a ≤ X ≤ b) avec a,b, des réels lorsque X suit la loi normale N(μ , σ²) on tape sur la calculette:

normalFrep (a,b,μ,σ)

REMARQUE: On ne tape pas μ et σ si X suit la loi normale centrée réduite

Propriété

X suit la loi normale N(μ , σ²)

Pour ramener X à une loi centrée réduite, on soustrait μ et on divise par σ à tous les paramètres

-> p(a ≤ X ≤ b) devient p((a -μ/σ) ≤ (X-μ/σ) ≤ (b-μ/σ))

De même, E(X) devient E(X-μ/σ) = 0 et V(X) devient V(X-μ/σ) = 1

On montre que: E(X) =μ équivaut à(E(X) -μ)/σ = 0 équivaut à E(X-μ) = 0 ce qui équivaut à E(X) = 0

On montre: V(X-(μ/σ) = 1 équivaut à 1/σ²* V(X-μ) = 1 équivaut à V(X-μ) = σ² ce qui équivaut à V(X) = σ²

Quelques intervalles de fluctuation de N0

X suit la loi N (μ ; σ²)

On a alors: p (- μ-σ ≤ X ≤ μ - σ) = p(-1 ≤ (X-μ)/σ ≤ 1) = p(-1 ≤ Z ≤ 1)

Avec Z = (X-μ)/σ et qui suit une loi normale centrée réduite (N0)

On a d'après la calculette:

p (- μ-σ ≤ X ≤ μ - σ) = 0,692

p (- 2*μ-σ ≤ X ≤ 2*μ - *σ) = 0,955

p (- 3*μ-σ ≤ X ≤ 3*μ - σ) = 0,987

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