Les lois de probabilité terminale

Épreuve et Loi de Bernoulli

Épreuve de Bernoulli

Un épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire avec seulement 2 issues

➥On a généralement :Échecs et Succès

REMARQUE: p(Succès) = 1-p(Échecs)

On choisis souvent X(succès) =1 et X(échecs) = 0

Loi de Bernoulli

Soit une variable aléatoire X

On choisit: X(a) = 1 et X(b) = 0

E(X) = 1 ✕ p+0 ✕ (1-p) = p

V(x) = ∑_{i = 1}^{i = n} p_i ✕ (x_i-$\ov X$)² = p ✕ (1-p)²+(1-p)(0-p)² = p ✕ (1-p)²+p² ✕ (1-p) = (1-p) ✕ (p-p²+p²) = (1-p) ✕ p

Donc pour la loi de Bernoulli:

L'espérance E(X) = p

La variance V(X) = (1-p) ✕ p

Définition: p s'appel le paramètre de la loi de Bernoulli

Loi binomiale

Introduction

X₁;X₂;...;X_n sont des variables aléatoires indépendantes suivant la même loi de Bernoulli

Soit: la variable aléatoire X définie par X = X₁+X₂+...+X_n

Donc si a associe 1 à chaque succès de l'expérience (X_b=1 si succès), et X_b pour un échec, alors:

La variable aléatoire donne le nombre de succès pour n répétitions de la même expérience de Bernoulli

Définition de la loi binomiale

Une variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètre n et p si elle prend ses valeurs dans E={0;1;2;3;...;n} et si elle est définie par:

∀ k ∈ K p(X=k) = (_kⁿ) ✕ (1-p)^n-k ✕ p^k

Celle loi s'appel la loi binomiale et ce note: B(n,p)

Propriété

Un schéma de Bernoulli de paramètre "p" que l'on répète n fois de manière identique et indépendante définie une loi binomiale: B(n,p)

Espérance et variance

Soit X une variable aléatoire qui suit la loi B(n,p)

Comme on est dans le même cas qu'une expérience de Bernoulli, on a :

Espérance: E(X) = n ✕ p

et

Variance: V(X) = n ✕ p(1-p)

Variable aléatoire continues

Fonction de répartition d'une variable aléatoire

Cas d'un univers fini (variable aléatoire discrète (= non continue))

X, une variable aléatoire sur un univers finie ayant pour loi de probabilité:

Une variable aléatoire discrète est une variable que l'on peut dénombrer (ex: nombre de pile à pile ou face, nombre de boules rouges tirées...)

On a x₁ < x₂ <x₃ <...<x_n

A partir de cette loi, on construit le graphique suivante (pour n = 6)

img à venir

Définitions de la fonction de répartition

La fonction de répartition d'une variable aléatoire X est l'application F de R dans [0;1] qui à tout x ∈ R fait correspondre F(x) = p(X <x)

Une variable aléatoire suit une loi dite continue si sa fonction de répartition est continue

Continue signifie que la variable est indénombrable (ex: taille d'une population ect...)

Loi uniforme sur un intervalle[a;b]

a ∈ R, b ∈ R et a<b

Principe

C'est une loi qui correspond à un tirage au hasard d'un nombre choisi dans l'intervalle [a;b]

On a donc: si [α ; β] < [a;b] et a < α ≤ β ≤ b

Avec X: la variable aléatoire

Alors:

p(X) = [α;β] = p(α ≤X≤β) = ${d(α \; ; \; β)}/{d(a \; ; \; b)}$ = ${β-α}/{b-a}$

Fonction de répartition

On est toujours dans l'intervalle[a;b]

Rappel: F(x) = p(X≤x)

1er cas: x≤a

F(x) = p(X≤x) = 0

➥Donc pour ]-∞;a], la droite F(x) est d'équation y = 0

2ème cas: a ≤ x ≤ b

F(x) = p (X≤x) = p(a≤ X ≤ b) = $(x-a)/(b-a)$

➥Donc pour [a;b], la droite F(x) est d'équation ${x-a}/{b-a}$

3ème cas: x>b

F(x) = p(X≤x) = p(X≤ b) = 1

➥Donc la droite F(x) est d'équation y = 1

AL fonction de répartition est continue, donc on a affaire à une loi continue

Qu'est ce qu'une loi de probabilité à densité ?

Une loi de probabilité à densité est une loi que l'on utilise pour calculer une probabilité continue

Exemple: on utilise une loi à densité pour calculer de trouver un individu qui mesure entre 1,5m et 1,6m

densité de probabilité

F(x) est dérivable sur ]-∞;a]; ]a;b[ et ]b;+∞[

f est la dérivée de F(x) sur chacun de ses intervalles

➥ C'est la dérivée de la variable aléatoire X

Sur ]-∞;a[ F = 0

Sur ]a;b[ F = $1/{b-a}$

Sur ]a;+∞[ F = 0

Propriété de la loi uniforme sur [a;b]

-Si [α ; β] < [a;b] alors p(X ∈ [α ;β]) = p(α ≤X≤β) ) $(β-α)/(b-a)$

Or, on peut écrire: p(α≤X≤β) = p(X≤β) - p(X≤α) = F(β-F(α)

p(α≤X≤β) = _α∫^β f(x) dx

- Si α ≤β < a ou si b < α≤β alors:

P(X ∈[α;β]) = 0

-∀ α ∈ R, p(X=α) = _α∫ ^α f(x) dx = 0

-p(X∈ ]α;β[) = p(X∈ [α;β[) = p(X∈ ]α;β]) = p(X∈ [α;β])

Espérance

Dans ce cas, on calcul l'espérance mathématique avec la formule suivante:

E(X) = _a∫^b f(x) dx) = _a∫^b x ✕ $1/{b-a}$ dx

➥ On a vue plus haut que f(x) x ✕ $1/{b-a}$

On calcule l'intégrale et on a donc:

E(X) = ${a+b}/2$

Lois à densité continu

On considère les variables aléatoires à densité continue à valeur sur [0;+∞[

La représentation graphique donne une courbe toujours positive et qui tend vers 0

Soit F, la fonction de répartition de la variable aléatoire X tel que: F(x) = p(X≤x) et F(0) = 0

Soit f, la dérivée de F, on a donc:

F(x) = ₀∫^x f(t) dt

Alors: lim_x→+∞ F(x) = lim_{x→+∞ 0}∫^x f(t) dt = 1

On peut donc écrire: ₀∫^+∞ f(t) dt = 1

➥ Donc quand x tend vers l'infini alors la loi à densité continu est égale à 1

Loi de durée de vie sans vieillissement, ou loi exponentielle

Définition de la loi exponentielle

λ ∈ ]0;+∞[ ; Une variable X suit la loi exponentielle de paramètre λ si sa densité de probabilité est définie sur R+ par:

f_λ(x) = λe^-λx

➥ Cette loi a pour fonction de répartition: F(x) = ₀∫^x f(t) dt = 1-e^{-λ x}

Espérance mathématique de la loi exponentielle

Comme on suit la loi exponentielle: f(x) = λe^-λx et f ∈ [0;+∞[

L'espérance de la loi exponentielle est:

E(X) = ₀∫^+∞ t ✕ f(t) dt = $1/{λ²}$

Donc si X suit une loi exponentielle de paramètre λ alors:

E(X) = $1/{λ²}$

Loi de durée de vie sans vieillissement

X: une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle

Propriétés:

p(x≤t) = F(t) = 1-e^{-λ ✕ t}

Donc:

p(x≥t) = e^{-λ ✕ t}

Calcule de pX≥t+t₀) sachant que p(x≥t0) est réalisé

p_x≥t0(X≥t+t₀) = ${p([X≥t_0] ∩ [X≥t+t_])}/{p(X≥t_0} = {p(X≥t+t_0)}/{p(X≥t_0}$

On a donc: ${e^{-λ ✕ (t+t_0)}}/{e^{-λ \; ✕ \; t_0}$ = e^{-λ ✕ t} = p(X≥t)

On trouve alors que: p_X≥t0(X≥t+t₀ = p(X≥t)

La probabilité que X "dure" au moins t est égal à la probabilité que X ure au moins t+t₀ sachant qu'il a déjà "durée" t_O

Propriété: Si X suit une loi exponentielle, p_X≥t0(X≥t+t₀) = p(X≥t)

REMARQUE: t>0 et t₀ >0

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