coursenligne1s6 site de cours en ligne première terminale et bac Coursenligne1s6.fr, fiches de révision pour lycéens de première, terminale & bac

Coursenligne1s6: 1er site de cours & révision en ligne fait pour des lycéens par des lycéens (2012)

Le logarithme népérien

logo cours en ligne 1s6 site de cours en ligne pour première

Définition du logarithme népérien

La fonction logarithme népérien est la primitive sur ]0;+∞[ et qui s'annulent en 1 de la fonction1/x

->Cette primitive existe car la courbe 1/x est continue sur R+*

Le logarithme népérien est noté: ln

La fonction ln est donc la fonction définie sur R+* par:

ln(x) = 1x 1/t dt

Conséquences

∀ x ]0;+∞[, ln'(x) = 1/x

[ln(ax)]' = (ax)'*ln'(ax) = a* 1/(ax) = 1/x

REMARQUE: ax doit être supérieur à 0

(ln(|x|)' = 1/x

Signe du logarithme de x

On sait que ∀ t ∈ ]0;+∞[, 1/t >0

Si: x>1: ln(x) = 1t 1/t dt >0

Si: 0 < x < 1: ln(x) = -1t 1/t dt donc ln <0

Donc: si x>1: ln (x) >0

Donc: si 0<x<1: ln (x) <0

Et: ln (1) = 0

Propriété algébriques

a et b: 2 réels strictement positifs

Relation fondamentale du logarithme

Le logarithme transforme les multiplications en sommes

On a donc la relation: ln (a*b) = ln(a)+ln(b)

ln(1/b) = -ln(b)

Preuve: ln (1) = 0

Or: ln (1) = ln((1/b)*b) = ln (1/b) +ln(b)

Donc ln (1/b) +ln (b) = 0

Ce qui fait que ln (1/b) = -ln (b)

ln (a/b) = ln (a) -ln(b)

Preuve: ln (a/b) = ln (a* (1/b) = ln (a)+ln (1/b)

Comme ln (1/b) = -ln (b)

On a donc: ln (a/b) = ln(a)-ln(b)

∀ n ∈ Z, ln (an)= n*ln(a)

Preuve: Pour n ∈ N, on utilise la récurrence

->On montre que c'est vrai avec n = 0, puis on part de ln (an) = n*ln(a) pour arriver à an+1 = (n+1)* ln(a)

Pour n ∈ Z et n < 0, on fait un changement de variable

On prend p = -n (avec n ≥1)

On a donc: ln(an = ln (1/ap) = -ln (ap (car ln (1/b) = -ln(b))

Ce qui fait que -ln (ap = -p*ln(a) = n*ln(a) (car -p = n)

ln √(a) = (1/2)*ln (a)

Comme √(a) = a1/2 On utilise la relation vue plus haut: ln (ax) = x*ln (a)

Étude la fonction ln

ln est dérivable et continu sur ]0;+∞[

La dérivée de ln est la fonction inverse

-> ln'(x) = 1/x

Comme 1/x >0 sur ]0;+∞[, alors ln est strictement croissante sur ]0;+∞[

Limites aux bornes

Quand x tend vers +∞: lim ln(x) = +∞

Quand x tend vers 0: lim ln(x) = -∞

On trouve donc que l'axe des ordonnées est asymptoteà la courbe représentant le logarithme népérien

REMARQUE: ln(1) = 0 et ln(e) = 1

Dérivée et primitives avec ln

Dérivée

Soit: u, une fonction dérivable et positive sur un intervalle I

Alors ln(u) est dérivable sur I et:

ln'(u) = u'/u

Exemple: ln'(x) = 1/x, ln'((x+3)/(x-2)) = (-5/(x-2)²)/((x+3)/(x-2))

Primitives

u: une fonction dérivable et positive sur un intervalle I

La dérivée de u: u' est continu sur l'intervalle I

Une primitive de u'/u sur I est la fonction ln(u)

REMARQUE: Si u est de signe quelconque et ne s'annule pas sur I alors une primitive de u'/u est: ln(|u|)

Comparaison de ln(x) et puissances de x en 0 et en + ∞

Une propriété

Pour tout x compris entre ]0;+∞[ alors: ln(x) ≤ x-1

Pour le prouver, on fait l'étude la fonction g(x) = ln(x)-x+1

->On fait la dérivée, en déduit le sens de variation et on prouve que g(x) ≤ 0

->Il faut s'aider du maximum de g(x)

Limite de ln(x)/x en l'infini

Quand x tend vers + ∞:

lim ln(x)/x = 0

Preuve: ∀ x ≥ 0

0≤ ln(√(x)) ≤ √(x)

0≤ 1/2 *ln(x) ≤ √(x)

-> √(x) = x1/2

0≤ln(x) ≤ 2*√(x)

0≤ln(x)/x ≤ 2*√(x)/x

0≤ln(x)/x ≤ 2/√(x)

Donc d'après le théorème des gendarmes, la limite est égale à 0 en + ∞

Limite de x*ln(x) en 0

Quand x tend vers 0:

lim (x*ln(x) = 0

Preuve: on fait un changement de variable: X = 1/x et on cherche la limite de X*ln(X) quand x tend vers + l'infini

->On tombe sur l'expression ln(x)/x et on fait sa limite quand x tend vers + ∞

Remarque: dans une limite, ln(x) perd toujours, contrairement à ex

Réciproque de la fonction ln

La fonction f(x) est la réciproque de g(x) tel que:

f(g(x)) = g(f(x)) = x

Exemple: √ de x est la réciproque de x²

-> √ (x²) = √(x) = x

Existence

La fonction ln est strictement croissante sur ]0;+∞[

->Elle établit donc une bijection de ]0;+∞[ à ln(]0;+∞[) = R

On définit alors la réciproque f(x) qui à tout x de R fait correspondre un x ∈ ]0;+∞[ tel que y = ln(x)

On a alors: x = f(y) <=> y = ln (x)

Propriété

On fait l'étude la dérivée de f(x)

Idée directrice du raisonnement:

soit un x0 ∈ R tel que x est toujours différents de x0

On dérive donc: (f(x)-f(x0))/(x-x0) = (y-y0)/hy-hy0)

On admet que l'on peut écrire:

quand x tend vers x0

lim ((fx)-f(x0)/(x-x0) = lim (y-y0)/(hy-hy0) quand y tend vers y0

On a donc: lim (1/(hy-hy0)/(y-y0) = 1/h'y0 = 1/1/hy0 = y0

Donc f'(x) = f(x)

Donc f(x) est sa propre dérivée

De plus, ln(1) = 0 donc f(0) = 1

->f(x) =ex

La fonction réciproque à la fonction logarithme est donc la fonction exponentielle

Egalité et inégalité avec ln

Comme ln est une bijection:

-Si a >0 ou b>0 alors:

ln(a) = ln(b) <=> a = b

Comme ln es croissante sur R:

si a>0 et b>0

ln(a) < ln(b) <=> a<b

Comme ex et ln sont réciproques:

∀ a ∈ R ln(ea) = a

et, ∀ b ∈ ]0;+∞[, eln b = b

Comparaison de ln(x) et x-1 au voisinage de 0

On sait que ln est dérivable en 1 et que ln' = 1/1 = 1

Donc quand x tend vers 1:

lim ((ln(x)-ln(1))/(x-1) = lim ln(x)/(x-1) = 1

On peut aussi écrire: quand h tend vers 0, ln(1+h)/h = 1

Partagez ce cours !

Suivez Nicolas KRITTER sur google + ( cours inspiré de celui fait par le professeur de la classe)