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Limites de fonctions, introduction|cours de maths terminale

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I La notion de limite d'une fonction

Intérêt des limites

-f est une fonction de la variable x

➥On note f(x)

-Calculer la limite de f sert à déterminer le comportement de f en une valeur où f n'est pas définie

➥ On se place juste avant (= sur une borne de l'ensemble où f est définie)

Exemple et notation

Exemple 1: f(x) = $1/{x²}$, et Df( domaine de définition de f) = R *

-Quand x tend vers +∞, f(x) tend vers 0

-Quand x tend vers -∞,f(x) tend vers 0

-Quand x tend vers 0, f(x) tend vers +∞

Exemple 2: $f(x) = 1/x$ et DF = R *

-Quand x tend vers +∞, f(x) tend vers 0

-Quand x tend vers -∞,f(x) tend vers 0

-Quand x tend vers 0 depuis le coté positif, f(x) tend vers +∞

-Quand x tend vers 0 depuis le coté négatif, f(x) tend vers -∞

II Une méthode détermination de la limite d'une fonction

Limite en un réel α

Théorème pour trouver la limite d'une fonction

I: un intervalle

f: une fonction définie sur I, sauf en en α

g: une fonction définie sur I

On a pour tout x: f(x) = g(x)

1) Si la limite de g(x) quand x tend vers α existe alors:

quand x tend vers α limite de f(x) = g(α)

2) Si g est définie et continue en α alors:

quand x tend vers +∞, lim g(x) = g(α)

Exemple de calcul d'une limite de fonction avec forme indéterminée

Exemple: lim f(x) quand x tend vers 1, avec $f(x) = (x²-1)/(x-1)$

➥si on remplace maintenant x par 1, on a une forme indéterminée : $ 0/0 $

➨ Il faut donc changer de forme

on factorise, → $((x-1)(x+1))/(x-1)$, on simplifie → x+1

on remplace x par 1 → 1+1 = 2

Donc quand x tend vers 1, lim f(x) = 2

III Quelques propriétés des limites

1) propriétés algébriques

Pour x tend vers α

limx→α f(x) = L et limx→α g(x) = L'

L et L', 2 réels

limx→α (f+g) = L+L'

limx→α (f-g) = L-L'

limx→α (f ✕ g) = L ✕ L'

limx→α $ f/g = L/{L'} $ (avec L' différent de 0)

➥Quand on additionne, soustrais, divise ou multiplie des fonctions, on fiat de même avec leurs limites

2)Passage à la limite d'une inégalité

I: in intervalle

α est une borne de I ou est compris dans I

f et g, deux fonctions définies sur I (sauf sur α); et qui admettent une limite en α

Si pour tout x appartenant à I, différent de α :

f(x)<g(x)

Ou

f(gx)≤g(x)

Alors on a: lim f(x) ≤ lim g(x)

Changement de variable

a et h: des réels

x tend vers a et h tend vers 0

➥limx→a f(x) = limh→0 f(x+h) = a

➨C'est comme si on additionnait 2 suites: f(x) = x + g(x) = h

La suite du cours: Limites et asymptotes

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