Les nombres complexes

Introduction aux nombres complexe

Définition de i

On créée une entité mathématique noté i tels que:

i² = -1

On utilise avec i les mêmes règles algébriques qu'avec un nombre réel

Exemples de calculs avec les nombres complexe

i³ = -i

i⁴ = 1

Exemple d'équations résolues avec des nombres complexe

x²+1 = 0 pour x = i (car i² = -1) ou x = -i (car (-i)² = i

Comme x²+1 = x²-i², on factorise sous la forme (x-i)(x+i)

x² = - 4, on a donc x²+4 = 0 pour x = 2i ou x = -2i

Et x²-4 = x²-(2i)²

Résolutions d'équations simple avec "i"

k ∈R et k>0

L'équation x² = -k a deux solutions:

x = i√(k)

x = -i√(k)

Définitions des nombres complexes

Un nombre complexe est un nombre z qui peut s'écrire sous la forme:

z = a+ib

Avec a ∈R, b ∈ R et i est un nombre complexe: i² = -1

Cette forme s'appel la forme algébrique

a s'appel la partie réel de z

b s'appel la partie imaginaire de z

Notation:

On note a = R_e(z)

On note b = I_m(z)

Ensemble de définition des nombre complexe

On note l'ensemble de définition des nombres complexe C

C = {z} tel que z = a +ib et a ∈R, b ∈R et i² = -1

REMARQUE: R est inclus dans C et z ∈R si: z = a+ib avec b = 0

z ∈ C donc:

I_m(z) = 0 équivaut à z ∈ R

R_e(z) = 0 équivaut à z est un imaginaire pur

Propriété

z = 0 équivaut à R_e(z) = I_m = 0

Ce qui veut dire que si a+ ib = 0, a = 0 et b = 0

Règles des nombre complexe

Règle:

Un polynôme à coefficient complexe (= nombre complexe) d'une variable complexe (=x est un nombre complexe) a les même propriétés que les polynômes à coefficient réel d'une variable réelle (= x est un réel)

Somme et produit de nombres complexe

Exemple: z = 2+3i et z' = -1+4i

z+z' = 2+3i + (-1+4i) = 2-1 +3i+4i = 1+7i

z ✕ z' = (2+3i) ✕ (-1+4i) = -2+8i-3i-12 = -14-5i

Généralisation des produits et sommes de nombres complexe

Avec z = a+ib et z' = a'+ib'

z+z' = a+a'+i(b+b')

z ✕ z' = a ✕ a'-b ✕ b'+i(ab'+a'b)

Rapport de deux nombres complexes

(a,a',b,b')∈R⁴, z = a+ib et z' = a'+ib'

Conjugué d'un nombre complexe

Le conjugué d'un nombre complexe z se note $\ov{z}$

Pour z = a+ib

On a: $\ov{z}$ = a-ib

Propriétés

Re_$\ov{z}$ = Re_(z)

Im_$\ov{z}$ = -Im_(z)

➥Si z' = $\ov{z}$, alors on a: a' = a et b' = -b

Avec a,a',b,b' ∈R

Module d'un nombre complexe

Le module d'un nombre complexe z est noté |z|

Pour z = a+ib

On a: |z| = √(a²+b²)

Propriétés

z ✕ $\ov{z}$ = (a+ib) ✕ (a-ib) = a²-(-ib)² = a²+b² = |z|²

z∈R et |z|≥0

REMARQUE: si z∈R, z = a+ib et b = 0

|z| = √(a²+0²) = √(a²)

Donc quand b = 0, |z| vaut la valeur absolue de a

-

Inverse d'un nombre complexe

Pour prendre l'inverse d'un nombre complexe, on multiplie par le conjugué du dénominateur en haut et en bas

On a donc: $ {1}/{z} = {\ov{z}}/{|z|^2}$

Ce qui donne: $ {1}/{a \; + \; ib} = {1 \; ✕ \; (a-ib)}/{(a \; + \; ib) \; ✕ \; (a-ib)} = {a-ib}/{a^2 \; + \; b^2}$

Écriture algébrique d'un quotient

On utilise la même propriété que pour l'inverse

On multiplie en haut et en bas par le conjugué du dénominateur

Ce qui donne:

$ {z}/{z'} = {z \; ✕ \; \ov{z'}}/{|z'|^2}$

On a donc: $ { a \; + \; ib}/{a' \; + \; ib'} = {(a \; + \; ib) \; ✕ \; (a' -ib')}/{a'^2 \; + \; b'^2}$

ATTENTION: quand on a une forme 2+i, a = 2 et b = 1 car on a: 2+1 ✕ i

Résoudre une équation du second degré à coefficient réel et delta négatif

Pour résoudre une équation du second degré avec delta négatif, on utilise la même méthode que pour le delta positif

Par contre, on obtient les 2 solutions suivantes:

x₁ = ${-b -i √{| Δ |}}/{2a}$ et x₂ = ${-b \; + \; i √{| Δ |}}/{2a} $

On factorise donc de la façon suivante:

$a(x-(-b - i√(|Δ|))/{2a}) \; ✕ \;(x-(-b + i√(|Δ|))/{2a})$

Identités remarquables

a³-b³ = (a-b)(a²+ab+b²)

a³+b³ = (a+b)(a²-ab+b²)

(a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³

(a-b)³ = a³-3a²b+3ab²-b³

Propriétés des conjuguées et des modules

Avec z et z', 2 nombres complexe

Calculs avec les conjugués

${\ov{z}}↖ {-} = z$

Multiplication et conjugués:

$ z\; ✕ \; \ov{z}$ = |z|²

$\ov{(z \; ✕ \; z')} = \ov{z} \; ✕ \; \ov{z'}$

Divisions et conjugués

$\ov{(z/z')} = \ov{z}/{z'}↖ {-}$

Additions et multiplications

$\ov{(z+z')} = \ov{z} \; + \; \ov{z'}$ et $\ov(z-z') = \ov{z} \; - \; \ov{z'}$

Relation avec la puissance

${\ov{z}}^2 = \ov{(z^n)}$

➨Le conjugué d'une opération avec z et z' équivaut à la même opération avec les conjugués de z et de z'

Relation entre z et son conjugué

Si $\ov{z}$ = z alors z est un réel

➥car le b de z = a+ib est nul

Si $\ov{z}$ = -z, alors z est un imaginaire pur

➥car le a de z = a+ib est nul

Re_z = $(z+\ov{z})/2$

➥ z+$\ov{z}$ = 2Re_z

Im_z = $(z-\ov{z})/2$

➥ z-$\ov{z}$ = 2Im_z

Propriétés des modules

|$\ov{z}$| = |-z| = |z|

|z| = 0 équivaut à z = 0

Calculs avec les modules

Multiplication et modules

|z ✕ z'| = |z| ✕ |z'|

Division et module

$|z/{z'}|$ = ${|z|}/{|z'|}$ pour tout z différent de 0

Relation avec les puissances

|zⁿ| = |z|ⁿ

Inégalité triangulaire

Comme on peut assimiler z à un vecteur, on obtient l'inégalité suivante

|z+z'|≤|z|+|z'|

➥Ce qui équivaudrait à la norme du vecteur z+z' est inférieur ou égal à la norme du vecteur z + la nombre du vecteur z'

Comme |z| = √(a²+b²) on a:

Re_z ≤ |z| et Im_z ≤ |z|

Représentation trigonométrique des nombres complexes

Plan complexe

-Soit un plan muni d'un repère orthonormé o,i,j

On peut associer un nombre complexe à un point

-La coordonné d'un nombre complexe z = a+ib équivaut à la coordonné d'un point M (a,b) dans le plan o,i,j

M est alors l'image de z

z est alors l'affixe du point M

Le point M définit par l'affixe z se note: M_z

Affixe d'un vecteur

On peut aussi associer un nombre complexe à un vecteur, et réciproquement

On associe un vecteur u(x;y) a un nombre complexe z= x + iy

Soit 2 points A(x_a;y_a) et B(x_b;y_b)

Soit z_A l'affixe de A et z_B l'affixe de B

On a donc z_AB l'affixe du vecteur AB

Relation: z_AB = z_B-z_A

RAPPEL: Les coordonnées du vecteur AB sont: (x_b-x_a;y_b-y_a)

Colinéarité de deux vecteurs s

Deux vecteur u et v non nul sont colinéaires si et seulement si:

il existe un k ∈R tels que v = k ✕ u

Pour les affixes:

v un vecteur d'affixe z

u un vecteur d'affixe z'

On a donc: si u et v sont colinéaires:

il existe un k ∈ R tels que: z = k ✕ z'

➥ Donc $z/{z'}$ ∈R

Propriétés

Soit: z_A l'affixe du point A

Soit: z_B l'affixe du point B

On a donc:

|z_A| = OA

|z_B-z_A| = AB

Soit z l'affixe du point M_z

Soit $\ov{z}$ l'affixe du point M_$\ov{z}$

On a donc le point M_$\ov{z}$ est le symétrique de M_z par rapport à l'axe OX

➥ $\ov{z}$ est le conjugué de z

Soit z₁ l'affixe du point M₁

Si z₁ = -z, alors M₁ est le symétrique de M par rapport à l'axe OX

I est le milieu de AB, donc z_I = $(z_A+z_B)/2$

Forme trigonométrique d'un nombre complexe

Un repérage dans le plan: le repérage polaire

On a les relations:

x_m = r ✕ cos(θ)

y_m = r ✕ sin(θ)

Remarque: dans la définition exacte des coordonnées polaire, R peut être négatif

Forme trigonométrique

Soit le nombre complexe z = a +ib, avec a et a 2 réels

Soit M l'image de z dans le plan complexe

M a pour coordonnées cartésienne: (a;b)

Soit: r et θ, les coordonnées polaire de M

r: le rayon, θ: l'angle entre le rayon et l'axe des abscisses s

On a donc: z = a +ib = z = r ✕ cos(θ)+r ✕ i ✕ sin(θ)

Propriétés et définitions

Tout nombre complexe z peut s'écrire sous la forme:

z = r(cos(θ) + i (sinθ))

➥r ∈R² et θ ∈R

cette forme s'appelle la forme trigonométrique

θ s'appelle l'argument de z, noté arg_z = θ

r est le module de z, on le note |z|

REMARQUE: il y a une infinité d'arguments de z, car on a comme argument: θ [2kπ]

z = 0 n'as pas d'arguments

Relation entre forme algébrique et forme trigonométrique

comme z = a+ib = r ✕ (cos(θ)+i ✕ sin(θ)), on a:

a = r ✕ cos(θ) et b = r ✕ sin(θ)

De plus, r = |z| = √(a²+b²)

Ce qui donne:

cos(θ) = $a/r = a/√(a²+b²)$

et sin(θ) = $b/r = b/√(a²+b²)$

Argument d'un conjugué

L'argument d'un conjugué : $\ov{z}$ est l'opposé de l'argument de z

On a: arg_z = θ [2π] donc arg _$\ov{z}$ = -θ [2π]

Nombres complexes égaux

Soit 2 nombres complexe:

z = R(cos(θ) +i ✕ sin(θ)) et z' = r'(cos(θ')+i ✕ sin(θ'))

z = z' si:

r = r' ET θ = θ'+2kπ

Argument d'un produit

Produit de deux nombres complexes: z et z'

z ✕ z' = r(cos(θ)+i ✕ sin(θ)) ✕ r'(cos(θ')+i ✕ sin(θ'))

➨ z ✕ z' = r ✕ r' ✕ [(cos(θ) ✕ cos(θ')-sin(θ) ✕ sin(θ'))+i ✕ (sin(θ') ✕ cos(θ)+cos(θ') ✕ sin(θ))]

On retrouve ici les formes cos(a+b) et sin(a+b)

On a donc: z ✕ z' = r ✕ r' ✕ (cos(θ+θ')+i ✕ sin(θ+θ'))

Ce qui fait que: arg(_{z ✕ z'}) = arg_z+arg_z' [2π]

Et pour tout n ∈N*, on a: arg(zⁿ) = n ✕ arg_z [2π]

Argument d'un quotient

L'argument d'un quotient de deux nombres complexe z et z'

arg ($z/{z'}$) = arg_z-arg_z'

On a donc: arg($1/z$) = -arg_z' [2π]

Notation exponentielle

Définition

On admet la relation suivante:

cos(θ)+i ✕ sin(θ) = e^{i ✕ θ}

➥ le "e" est le "e" de fonction exponentielle

Cette relation permet donc d'écrire tout nombre complexe non nul de la façon suivante:

z =r✕e^{i ✕ θ}

Avec r: le module de z, notée |z| et θ: l'argument de z notée

REMARQUE:

2 ✕ e^{i ✕ ($π/6$)} →|z| = 2 et θ = $π/6$

Mais: -2 ✕ e^{i ✕ ($π/6$)} ⇒|z| = 2 et θ = -$π/6$

Propriétés de la notation exponentielle

Quelque soit θ ∈ R: |e^iθ| = 1

Pour tout z et $\ov{z}$ différents de 0, pour r∈ R

z =r✕e^iθ donc $\ov{z}$ =r✕e^-iθ car arg (z) = - arg ($\ov{z}$) et |z| = |$\ov{z}$|

Multiplication:

z ✕ z' = r ✕ r'^i(θ+θ') =r ✕ e^iθ ✕ r' ✕ e^iθ'

On a cette forme car |z ✕ z'| = |z| ✕ |z'| et arg (z ✕ z') = arg z + arg z'

Division

${z}/{z'} = {r}/{r'} \; ✕ \; e^{i(θ -θ ')} = {r\; ✕ \; e^{iθ}}/{r'\; ✕ \; e^{iθ '}}$

Inverse

$1/z = (1/r)$ ✕ e^-iθ = $1/{r \; ✕ \; e^{iθ}}$

Car: |$1/z$| = $1/{|z|}$ et arg($1/z$) = -arg z

Puissance

Pour tout n∈N: zⁿ = rⁿ ✕ e^{i ✕ n ✕ θ} = (r✕e^iθ)ⁿ

Formule d'Euler

On admet: e^iθ = cos(θ) +i ✕ sin(θ)

Et: e^-iθ = cos(θ) -i ✕ sin(θ)

Ce qui donne les relations:

e^iθ+e^-iθ = 2 ✕ cos(θ)

e^iθ-e^-iθ = 2 ✕ sin(θ)

Ce qui permet de calculer cos(θ) et sin(θ) avec les relations:

cos(θ) = $(e^{iθ}+e^{-iθ})/2$

sin(θ) = $(e^{iθ}-e^{-iθ})/2$

Formule de Moivre

Formule du mathématicienMoivre:

(e^iθ)ⁿ = (e^{n ✕ iθ})

On a donc: (cos(θ)+i ✕ sin(θ))ⁿ = cos(n ✕ θ)+i ✕ sin(n ✕ θ)

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