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Les nombres complexes

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Introduction aux nombres complexe

Définition de i

On créée une entité mathématique noté i tels que:

i² = -1

On utilise avec i les mêmes règles algébriques qu'avec un nombre réel

Exemples de calculs avec les nombres complexe

i3 = -i

i4 = 1

Exemple d'équations résolues avec des nombres complexe

x²+1 = 0 pour x = i (car i² = -1) ou x = -i (car (-i)² = i

Comme x²+1 = x²-i², on factorise sous la forme (x-i)(x+i)

x² = - 4, on a donc x²+4 = 0 pour x = 2i ou x = -2i

Et x²-4 = x²-(2i)²

Résolutions d'équations simple avec "i"

k ∈R et k>0

L'équation x² = -k a deux solutions:

x = i√(k)

x = -i√(k)

Définitions des nombres complexes

Un nombre complexe est un nombre z qui peut s'écrire sous la forme:

z = a+ib

Avec a ∈R, b ∈ R et i est un nombre complexe: i² = -1

Cette forme s'appel la forme algébrique

a s'appel la partie réel de z

b s'appel la partie imaginaire de z

Notation:

On note a = Re(z)

On note b = Im(z)

Ensemble de définition des nombre complexe

On note l'ensemble de définition des nombres complexe C

C = {z} tel que z = a +ib et a ∈R, b ∈R et i² = -1

REMARQUE: R est inclus dans C et z ∈R si: z = a+ib avec b = 0

z ∈ C donc:

Im(z) = 0 équivaut à z ∈ R

Re(z) = 0 équivaut à z est un imaginaire pur

Propriété

z = 0 équivaut à Re(z) = Im = 0

Ce qui veut dire que si a+ ib = 0, a = 0 et b = 0

Règles des nombre complexe

Règle:

Un polynôme à coefficient complexe (= nombre complexe) d'une variable complexe (=x est un nombre complexe) a les même propriétés que les polynômes à coefficient réel d'une variable réelle (= x est un réel)

Somme et produit de nombres complexe

Exemple: z = 2+3i et z' = -1+4i

z+z' = 2+3i + (-1+4i) = 2-1 +3i+4i = 1+7i

z*z' = (2+3i)*(-1+4i) = -2+8i-3i-12 = -14-5i

Généralisation des produits et sommes de nombres complexe

Avec z = a+ib et z' = a'+ib'

z+z' = a+a'+i(b+b')

z*z' = a*a'-b*b'+i(ab'+a'b)

Rapport de deux nombres complexes

(a,a',b,b')∈R4, z = a+ib et z' = a'+ib'

Conjugué d'un nombre complexe

Le conjugué d'un nombre complexe z se note /z

Pour z = a+ib

On a: /z = a-ib

Propriétés

Re(/z) = Re(z)

Im(/z) = -Im(z)

->Si z' = /z, alors on a: a' = a et b' = -b

Avec a,a',b,b' ∈R

Module d'un nombre complexe

Le module d'un nombre complexe z est noté |z|

Pour z = a+ib

On a: |z| = √(a²+b²)

Propriétés

z * (/z) = (a+ib)*(a-ib) = a²-(-ib)² = a²+b² = |z|²

z∈R et |z|≥0

REMARQUE: si z∈R, z = a+ib et b = 0

|z| = √(a²+0²) = √(a²)

Donc quand b = 0, |z| vaut la valeur absolue de a

-

Inverse d'un nombre complexe

Pour prendre l'inverse d'un nombre complexe, on multiplie par le conjugué du dénominateur en haut et en bas

On a donc: 1/z = (/z)/(z*/z) = (/z)/ |z|²

Ce qui donne: 1/(a+ib) = (1*(a-ib))/((a+ib)*a-ib)) = (a-ib)/(a²+b²)

Écriture algébrique d'un quotient

On utilise la même propriété que pour l'inverse

On multiplie en haut et en bas par le conjugué du dénominateur

Ce qui donne: z/z' = (z*/z')/|z'|²

On a donc: (a+ib)/(a'+ib') = ((a+ib)(a'-ib'))/(a'²+b'²)

ATTENTION: quand on a une forme 2+i, a = 2 et b = 1 car on a: 2+1*i

Résoudre une équation du second degré à coefficient réel et delta négatif

Pour résoudre une équation du second degré avec delta négatif, on utilise la même méthode que pour le delta positif

Par contre, on obtient les 2 solutions suivantes:

x1 = (-b - i√(|Δ|))/2a et x2 = (-b+i√(|Δ|))/2a

On factorise donc de la façon suivante:

a(x-(-b - i√(|Δ|))/2a)*(x-(-b - i√(|Δ|))/2a)

Identités remarquables

a3-b3 = (a-b)(a²+ab+b²)

a3+b3 = (a+b)(a²-ab+b²)

(a+b)3 = a3+3a²b+3ab²+b3

(a-b)3 = a3-3a²b+3ab²-b3

Propriétés des conjuguées et des modules

Avec z et z', 2 nombres complexe

Calculs avec les conjugués

(//z) = z

Multiplication et conjugués:

z*(/z) = |z|²

/(z*z') = (/z)*(/z')

Divisions et conjugués

/(z/z) = (/z)/(/z)

Additions et multiplications

/(z+z') = /z+/z' et /(z-z') = /z-/z'

Relation avec la puissance

(/z)n = /(zn)

=>Le conjugué d'une opération avec z et z' équivaut à la même opération avec les conjugués de z et de z'

Relation entre z et son conjugué

Si /z = z alors z est un réel

->car le b de z = a+ib est nul

Si /z = -z, alors z est un imaginaire pur

->car le a de z = a+ib est nul

Rez = (z+(/z))/2

-> z+(/z) = 2Rez

Imz = (z-(/z))/2

-> z-(/z) = 2Imz

Propriétés des modules

|/z| = |-z| = |z|

|z| = 0 équivaut à z = 0

Calculs avec les modules

Multiplication et modules

|z*z'| = |z|*|z'|

Division et module

|z/z'| = |z|/|z'| pour tout z différent de 0

Relation avec les puissances

|zn| = |z|n

Inégalité triangulaire

Comme on peut assimiler z à un vecteur, on obtient l'inégalité suivante

|z+z'|≤|z|+|z'|

->Ce qui équivaudrait à la norme du vecteur z+z' est inférieur ou égal à la norme du vecteur z + la nombre du vecteur z'

Comme |z| = √(a²+b²) on a:

Rez ≤ |z| et Imz ≤ |z|

Représentation trigonométrique des nombres complexes

Plan complexe

-Soit un plan muni d'un repère orthonormé o,i,j

On peut associer un nombre complexe à un point

-La coordonné d'un nombre complexe z = a+ib équivaut à la coordonné d'un point M (a,b) dans le plan o,i,j

M est alors l'image de z

z est alors l'affixe du point M

Le point M définit par l'affixe z se note: Mz

Affixe d'un vecteur

On peut aussi associer un nombre complexe à un vecteur, et réciproquement

On associe un vecteur u(x;y) a un nombre complexe z= x + iy

Soit 2 points A(xa;ya) et B(xb;yb)

Soit zA l'affixe de A et zB l'affixe de B

On a donc zAB l'affixe du vecteur AB

Relation: zAB = zB-zA

RAPPEL: Les coordonnées du vecteur AB sont: (xb-xa;yb-ya)

Colinéarité de deux vecteurs s

Deux vecteur u et v non nul sont colinéaires si et seulement si:

il existe un k ∈R tels que v = k*u

Pour les affixes:

v un vecteur d'affixe z

u un vecteur d'affixe z'

On a donc: si u et v sont colinéaires:

il existe un k ∈ R tels que: z = k*z'

-> Donc z/z' ∈R

Propriétés

Soit: zA l'affixe du point A

Soit: zB l'affixe du point B

On a donc:

|zA| = OA

|zB-zA| = AB

Soit z l'affixe du point Mz

Soit /z l'affixe du point M/z

On a donc le point M/z est le symétrique de Mz par rapport à l'axe OX

-> /z est le conjugué de z

Soit z1 l'affixe du point M1

Si z1 = -z, alors M1 est le symétrique de M par rapport à l'axe OX

I est le milieu de AB, donc zI = (zA+zB)/2

Forme trigonométrique d'un nombre complexe

Un repérage dans le plan: le repérage polaire

repérage polair dans un champ complexe

On a les relations:

xm = R*cos(θ)

ym = R*sin(θ)

Remarque: dans la définition exacte des coordonnées polaire, R peut être négatif

Forme trigonométrique

Soit le nombre complexe z = a +ib, avec a et a 2 réels

Soit M l'image de z dans le plan complexe

M a pour coordonnées cartésienne: (a;b)

Soit: r et θ, les coordonnées polaire de M

r: le rayon, θ: l'angle entre le rayon et l'axe des abscisses s

On a donc: z = a +ib = z = r*cos(θ)+r*i*sin(θ)

Propriétés et définitions

Tout nombre complexe z peut s'écrire sous la forme:

z = r(cos(θ) + i (sinθ))

->r ∈R² et θ ∈R

cette forme s'appelle la forme trigonométrique

θ s'appelle l'argument de z, noté argz = θ

r est le module de z, on le note |z|

REMARQUE: il y a une infinité d'arguments de z, car on a comme argument: θ [2kπ]

z = 0 n'as pas d'arguments

Relation entre forme algébrique et forme trigonométrique

comme z = a+ib = r*(cos(θ)+i*sin(θ)), on a:

a = r*cos(θ) et b = r*sin(θ)

De plus, r = |z| = √(a²+b²)

Ce qui donne:

cos(θ) = a/r = a/√(a²+b²)

et sin(θ) = b/r = b/√(a²+b²)

Argument d'un conjugué

L'argument d'un conjugué : /z est l'opposé de l'argument de z

On a: argz = θ [2π] donc arg/z = -θ [2π]

Nombres complexes égaux

Soit 2 nombres complexe:

z = r*(cos(θ) +i*sin(θ)) et z' = r'(cos(θ')+i*sin(θ'))

z = z' si:

r = r' ET θ = θ'+2kπ

Argument d'un produit

Produit de deux nombres complexes: z et z'

z*z' = r(cos(θ)+i*sin(θ))*r'(cos(θ')+i*sin(θ'))

=> z*z' = r*r'*[(cos(θ)*cos(θ')-sin(θ)*sin(θ'))+i*(sin(θ')*cos(θ)+cos(θ')*sin(θ))]

On retrouve ici les formes cos(a+b) et sin(a+b)

On a donc: z*z' = r*r'*(cos(θ+θ')+i*sin(θ+θ'))

Ce qui fait que: arg(z*z') = argz+argz' [2π]

Et pour tout n ∈N*, on a: arg(zn) = n*argz [2π]

Argument d'un quotient

L'argument d'un quotient de deux nombres complexe z et z'

arg (z/z') = argz-argz'

On a donc: arg(1/z) = -argz' [2π]

Notation exponentielle

Définition

On admet la relation suivante:

cos(θ)+i*sin(θ) = ei*θ

-> le "e" est le "e" de fonction exponentielle

Cette relation permet donc d'écrire tout nombre complexe non nul de la façon suivante:

z = r*ei*θ

Avec r: le module de z, notée |z| et θ: l'argument de z notée

REMARQUE:

2*ei*(π/6) ->|z| = 2 et θ = π/6

Mais: -2*ei*(π/6) ->|z| = 2 et θ = -π/6

Propriétés de la notation exponentielle

Quelque soit θ ∈ R: |e| = 1

Pour tout z et /z différents de 0, pour r∈ R

z = r*e donc /z = r*e-iθ car arg z = - arg /z et |z| = |/z|

Multiplication:

z*z' = r*r'i(θ+θ') = r*e*r'*eiθ'

On a cette forme car |z*z'| = |z|*|z'| et arg (z*z') = arg z + arg z'

Division

z/z' = (r/r')*ei(θ-θ') = (r*e)/(r'*eiθ'

Inverse

1/z = (1/r)*e-iθ = 1/(r*e

Car: |1/z| = 1/|z| et arg(1/z) = -arg z

Puissance

Pour tout n∈N: zn = rn*ei*n*θ = (r*e)n

Formule d'Euler

On admet: e = cos(θ) +i*sin(θ)

Et: e-iθ = cos(θ) -i*sin(θ)

Ce qui donne les relations:

e+e-iθ = 2*cos(θ)

e-e-iθ = 2*sin(θ)

Ce qui permet de calculer cos(θ) et sin(θ) avec les relations:

cos(θ) = (e+e-iθ)/2

sin(θ) = (e-e-iθ)/2

Formule de Moivre

Formule du mathématicienMoivre:

(e)n = (en*iθ)

On a donc: (cos(θ)+i*sin(θ))n = cos(n*θ)+i*sin(n*θ)

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