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Les intégrales

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Introduction à la notion d'intégrale

Position du problème

f: une fonction continue et positive sur l'intervalle [a;b]

Cf est la courbereprésentative de f dans un repère orthonormé

Problème: On cherche à calculer l'aire de la surface( ou domaine) compris entre l'axe des abscisses et la courbe sur x ∈ [a;b]

Une autre approche de la solution dans le cas où f est croissante sur [a;b]

image à venir

On encadre donc la courbe de la fonction avec 2 fonctions de types "escalier"

->Cela découpe l'aire de la courbe en rectangles dont on peut calculer l'aire

A1: aire définie par les petits rectangles

A2: Aire définie par les grands rectangles

A: aire totale sous la courbe

Comme les subdivisions de la courbe sont égales, on a:

x1-x0 = x2-x1 = ... = xn-xn-1 = Δx

De plus: xn-x0 = b-a, on a:

Δx = (b-a)/n

Donc:

A1 = ∑k = 0n-1 f(xk)*Δx

A2 = ∑k = 1n f(xk)*Δx

Notation de la solution

Lorsque n tend vers l'infini, Δn devient "infiniment petit"

La somme qui définie A1 et A2 se fait donc sur une infinité de termes

On admet alors l'égalité suivante quand n tend vers l'infinie:

lim A1 = lim A2 = A

On note: A = ab f(x) d(x)

Définition et notation

L'intégral de f sur [a;b] se note: abf(x) dx

-> Se lit: "Somme (ou intégrale) de a à b de f(x) dx"

->a représente la borne inférieur de l'intervalle

->b représente la borne supérieure de l'intervalle

REMARQUE: dx = Δx = différence de x

Intégrale et primitive

g: une fonction continue et croissante sur [a:b]

x ∈ [a;b] et h est tel que h ≠ 0 et a+h ∈ [a;b]

A(x): aire sous la courbe sur l'intervalle [a;x]

A(a) = 0 car c'est l'aire sous la courbe du point x = a à x = a

A(b) = A = aire sous la courbe sur [a;b]

On utilise la formule (A(x+h)-A(x))/h et on cherche à l'encadrer pour pouvoir utiliser le théorème des gendarmes

Si h>0

h*f(x) ≤A(x+h)-(A(x) ≤ h*f(x+h)

Donc:

f(x) ≤ (A(x+h)-(A(x) )/h≤f(x+h)

Si h<0

- h*f(x) ≤A(x+h)-(A(x) ≤ - h*f(x+h)

Donc

f(x+h) (≤A(x+h)-(A(x))/h ≤ f(x)

f est continue et la limite de f(x+h) quand h tend vers 0 est f(x)

En utilisant le théorème des gendarmes, on trouve donc:

Quand h tend vers 0, lim (A(x+h)-A(x))/h existe et vaut f(x)

Donc A est dérivable sur [a;b] et A' = f

->A est la primitive de f sur [a;b] qui s'annule en a

Si F est une primitive de f, alors ∀ x ∈ [a;b], A(x) = F(x)-F(a)

On a donc: ab f(x) dx = F(b)-F(a)

Ce résultat s'étend aux autres fonctions de variation et de signes quelconques

Pour calculer une intégrale, on cherche la primitive de la fonction puis on y injecte a et b en faisant la soustraction F(a) - F(b)

Exemple de calcule d'intégrale

Calcule de I = 12 (x²-3x+5) dx = [x3/3 - 3/2 *x² +5x]12 = 23/3-3/2 * 2² +5*2 - (13/2 -3/2*1² +5*1) = 17/6

Propriété

f: une fonction continue sur un intervalle I et a ∈ I

Fe: la fonction définie sur I par : Fe = axf(t) dt

Fe est donc la primitive de f qui s'annule en a

->a représente la borne inférieur de l'intervalle

->x représente la borne supérieure de l'intervalle

REMARQUE: Si F est une primitive quelconque de f sur I alors Fa(x) = F(x)-F(a)

REMARQUE: ∀ a ∈ I: aa f(x) dx = 0

->Car l'intervalle va du point x=a au point x=a

Propriété arithmétique des intégrales

f: une fonction continue sur l'intervalle I

Relation de Chasles

a,b: des réels appartenant à I

ab f(x) dx = abf(x) dx + ba f(x) dx

REMARQUE: l'ordre de a et b ne change rien

-> On peut avoir a>b ou b>a

Conséquences de la relation de Chasles

On a: ∀ (a,b) ∈ I², aa f(x) dx = 0 et aa = ab f(x) dx+ba f(x) dx

Donc: ∀ a ∈I, ba f(x) dx = -ab f(x) dx

Linéarité de l'intégrale

a,b: 2 réels ∈ I

f,g: 2 fonctions continu sur I

Multiplication:

∀ k ∈ R: ab k*f(x) dx = k* ab

Somme:

ab (f+g)(x) dx = abf(x) dx + ab g(x) dx

Intégrale et ordre

f: une fonction continue sur l'intervalle I

Fonction de signe constant

Si: f est positive et a≤b alors:

La somme abf(x) dx vaut l'aire sous la courbe pour x ∈ [a,b]

Donc a et b appartiennent à I

Si a≤b et ∀ x ∈ I, f(x) ≥0 alors:

ab ≥0

Si: f est négative sur I alors: -f est positive sur I

Donc: ab -f(x) dx ≥0

Or, comme on a vue que ab -f(x) dx = -ab f(x) dx

On a donc, si f est négative sur I: -ab f(x) dx ≥0

-> Et ab f(x) dx ≤0

Soit: a et b, deux réels appartenant à I tels que a≤b

Si: ∀ x ∈ I , f(x) ≤0 alors:

ab f(x) dx ≤0

ET

ba f(x) dx ≥0

=>On doit faire attention à l'ordre de a et de b dans l'intégrale

Conservation de l'ordre, intégration des inégalités

Soit f et g, deux fonctions continues sur I

Soit a et b, des réels appartenant à I et tels que a≤b

Si: ∀ x ∈ I, f(x) ≤ g(x) alors: ab f(x) dx ≤ ab g(x) dx

Intégration des aires

1er cas: f est positive sur [a,b]

I = ab f(x) dx représente alors l'aire sous la courbe du domaine D [a,b]

On a donc: a≤x≤b et 0≤y≤f(x)

2ème cas: f est négative sur [a,b]

L'aire sous la courbe vaut alors: A = -ab f(x) dx

->Pour le domaine D [a;b]

3ème cas; f(x) change de signe sur [a;b]

f(x), la courbe qui change de signe au points x1 et x2

ab f(x) dx = ax1 f(x) dx + ax2 f(x) dx +ab f(x) dx

-> A = A1+A2+A3

Valeur moyenne d'une fonction

f: une fonction continue sur un intervalle I

a∈ I, b ∈ I et a<b

La valeur moyenne de f sur [a;b] est:

µ = 1/(b-a)* ab f(x) dx

REMARQUE: On a donc:, ab f(x) dx µ*(b-a)

Quand f est positive sur [a;b], alors:

µ et b-a sont les cotés du rectangle dont l'aire vaut ab f(x) dx

Intégration par parties

u et v: deux fonctions dérivables dont les dérivées sont continues

a et b appartiennent à I

On sait que: (uv)' = u'*v+v'*u donc u*v' = (uv)'-u'*v

Si on trouve la forme: abu*v' dx, alors on a l'égalité suivante:

ab u*v' dx = [u*v]ba - ab u'*v dx

->v est la primitive de v'

Ce qui fait que: ab u*v' dx = ab (u*v)' dx - ab u'*v dx

On utilise cette méthode quand la méthode classique ne permet pas de calculer simplement l'intégrale

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