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La fonction exponentielle

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Introduction à la fonction exponentielle

On crée une fonction définie et dérivable sur R

On impose ces deux conditions:

f'(x) = f(x)

f(0) = 1

Première propriété

∀x ∈ R: $ f(-x) = 1/{f(x)}$

Démonstration:

Soit une fonction Ψ dérivable sur R

Ψ = f(x) ✕ f(-x)

On a donc: Ψ' = f'(x) ✕ f(x) + f(x) ✕ [f(-x)]' = f'(x) ✕ f(-x)+f(x) ✕ (-f'(x))

➥Ψ' = f'(x) ✕ f(-x)-f(x) ✕ f'(-x) = 0

Comme f'(x) = f(x)

Ψ = f(x) ✕ f(-x)-f(x) ✕ f(-x) = 0

Donc pour tout x de R; Ψ'= 0 donc Ψ est constante sur R

De plus, comme f(0) = 1, Ψ(0) = f(0) ✕ f(-0) = 1 ✕ 1 = 1

On a donc: Ψ(x) = f(x) ✕ f(-x) = 1

➥$ f(-x) = 1/{f(x)}$

REMARQUE: Pour tout x de R: f(x)≠0

Unicité de la fonction exponentielle

Pour prouver l'unicité de la fonction exponentielle (=prouver qu'il y a une unique fonction), on va supposer le contraire

On suppose qu'il existe une autre fonction qui vérifie les propriétés, puis, on va montrer que cette fonction est la même

➥Il n'existe donc qu'une fonction, donc on vérifie bien que la fonction exponentielle est unique

Démonstration:

Soit, une fonction g(x) tel que:

∀ x ∈ R, g'(x) = g(x) et g(0) = 1

Soit h(x), une fonction tels que :

∀ x ∈ R, h(x) = f(-x) ✕ g(x)

Donc h est dérivable sur R car f(x) et g(x) sont dérivablessur R

Calcul de la dérivée:

h'(x) = [f(x) ✕ g(-x)]' = f'(-x) ✕ g(x) + f(-x) ✕ g'(x)

➥h'(x) = -f'(x) ✕ g(x)+f(-x) ✕ g'(x)

Comme g'(x) g(x) et f'(x) = f(x), on a:

h'(x) = -f(x) ✕ g(x)+f(-x) ✕ g(x) = 0

Donc ∀ x ∈ R: h'(x) = 0 donc h(x) est constante sur R

Comme h(0) = f(0) ✕ g(0) = 1 ✕ 1 = 1, on a:

∀ x ∈ R: h(x) = 1

Ce qui donne h(x) = f(-x) ✕ g(x) = 1

Donc:

$ g(x) = 1/{f(-x)}$

Comme, selon les propriétés vue plus haut:

$ 1/{f(-x)} = f(x) $

On obtient alors: g(x) = f(x)

Donc la fonction f est définie de manière unique

La fonction exponentielle

Définition

La fonction f définie et dérivable sur R et qui a les propriétés suivantes:

∀ x ∈ R: f'(x) = f(x) et f(0) = 1

S'appelle la fonction exponentielle

On la note: exp

Propriétés de la fonction exponentielle

∀ x ∈ R

exp(-x) = $1/{exp(x)}$

On a deplus:

exp(x) ≠ 0

Comme exp (0) = 1 et exp est continu:

exp > 0

∀ a ∈ R et ∀ b ∈ R:

exp(a+b) = exp(a) ✕ exp(b)

exp(a-b) = ${exp(a)}/{exp(b)}$

∀ n ∈ N et ∀ a ∈ R:

exp(a)n = exp (a ✕ n)

L'écriture ex

Grâce à la propriété exp(a)n = exp (a ✕ n), on peut écrire:

exp(n) = exp(1)n

On note donc: e = exp(1), ce qui donne:

∀ x ∈ R: exp (x) = ex

Ce qui fait que: les propriétés de la fonction exponentielle correspondent aux propriétés des exposants

on a donc, ∀ a ∈ R, b∈ R n∈ Z:

ea+b = ea ✕ eb

$ e^{a-b} = {e^a}/{e^b}$

e0 = 1

$ e^{-b} = 1/{e^b}$

(ea)n = en ✕ a

Étude la fonction exponentielle

Sens de variation

La fonction exp est définie et dérivable sur R

Comme:

∀ x ∈R: exp' = exp

∀ x ∈ R, exp >0

➥exp'>0

La fonction exp est donc strictement croissante

REMARQUE: exp définit une bijection de R sur exp(R)

Limites aux bornes

Une propriété

∀ x ∈ R, ex ≥ x+1

Preuve:

f, une fonction définie sur R par:

f(x) = ex-x-1

f est dérivable sur R, on a:

f'(x) = ex-1 = ex-e0

Comme la fonction exp est croissante sur R:

x ≤0 =>expx-exp0 ≤0 soit f'(x) <0

x ≥0 =>expx-exp0 ≥0 soit f'(x) >0

Donc:

f est décroissante sur ]- ∞ ;0[

f est croissante sur ]0; +∞[

f admet un minimum en f(0) = 0

Donc ∀ x ∈ R, f(x) ≥ 0 soit ex - x -1 ≥ 0

limite de ex en +∞

Quand x tends vers +∞

lim ex = +∞

Preuve:

Comme vue précédemment: ex ≥ x+1

On sait que x+1 tend vers +∞

On a alors par comparaison: ex tend vers +∞

limite de ex en -∞

Quand x tend vers -∞

lim ex = 0

Preuve:

comme $ f(-x) = 1/{f(x)} $, on a:

$ e^{-x} = 1/{e^x}$

Donc lim ex = 0 quand x tend vers +∞

REMARQUE: l'axe des abscisses est donc une asymptote à la courbe ex

REMARQUE: exp établit une bijection de R sur R+*

Courbe représentative de exp

On représente exp comme toutes les autres fonctions, mais avec une particularité:

e ≈ 2,71

Autres limites

Comparaison de l'exponentielle et des puissances de x en l'infini

limite en +∞ du rapport entre exponetielle et x (ex et x)

Quand x tend vers +∞:

$ {lim}_{x→ +∞} {e^x}/{x} = + ∞ $

Preuve:

On a vue que ∀x ∈ R, ex ≥ x+1

On en déduit que ex≥x

➥ $e^{x/2} ≥ x/2$

Ce qui fait que: $e^{x/2} \; ✕ \; e^{x/2} ≥ x/2 \; ✕ \; e^{x/2}$

➨ex ≥ $x/2 ✕ e^{x/2}$

➨ ${e^x}/x ≥ 1/2 \; ✕ \; e^{x/2} $

Or, comme limx → + ∞ $1/2 ✕ e^{x/2}$ = +∞

On a par comparaison: $ {lim}_{x→ +∞} {e^x}/{x} = + ∞ $

quand x tend vers +∞

Limite de xn ✕ ex en -∞

Ici, n ∈ N *

quand x tend vers -∞ on a:

lim xn ✕ ex = 0

Preuve: lim xn ✕ ex en -∞ = lim -tn ✕ e-t en +∞

➥On fait un changement de variable: x = -t

On a donc quand x tend vers +∞: lim -tn ✕ e-t Et lim (-1)n ✕ tn = $ 1/{e^t}$ donc on a: limt→+∞ (-1)n ✕ $1/{e^t}/{t^n} = 0$

➥ On a vue précédemment que ${e^t}/{t^n} = +∞$

REMARQUE: quand x tend vers -∞ lim x ✕ ex = 0

limite de $(e^x-1)/x$ en 0

Quand x tend vers 0, on a:

${lim}_{x → 0} {e^{x}-1}/{x} = 1$

Preuve: On utilise la dérivée

On sait que la fonction exponentielle est dérivable en 0 et exp'(0) = exp(0) = 1

On a donc: exp'(0) = ${exp(x)-exp(0)}/(x-0)$ = 1 avec x tend vers 0

donc quand x tend vers 0 lim $(e^x -1)/x= = 1$

Dérivée de eu

Soit u une fonction dérivable sur I

exp (u) est donc dérivable sur I et est de la forme:

(exp(u))' = u' ✕ exp(u)

➥Donc (eu)' = u' ✕ eu

Exemple: (e-3x' = -3e-3x

Equation et inéquation avec ex

Propriétés

Soit a et b, deux réels quelconques:

Comme la fonction exponentielle ne prend ses valeurs qu'une seul fois:

si: ea = eb alors: a = b

Résolution de ex a

x est l'inconnue

Il y a 2 cas:

Si: a≤0 alors ex = a n'as pas de solution car ex est tout le temps positive et supérieur à 0

Si: a>0 alors ex = a as Une solution: x = ln(a)

➥ ln (a) veut dire logarithme de a

ln est la fonction logarithme, qui est la fonction réciproque de exp

Résolution de ex < ea

On utilise la propriété vue au dessus:

ex< ea implique x<a

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